Exercício 21 (Cubo) Considere-se um cubo A B C D E F G H de aresta unitária; considere-se um sistema ortonormal de coordenadas cartesianas (A ; A B, A D, A E).
21.6 Determinar o volume do tetraedro B E G D.

Passo 1

O enunciado dá um cubo de aresta unitária ABCD,EFGH com sistema de coordenadas em A, e pede o volume do tetraedro com vértices B,E,G,D. Vamos usar geometria analítica: atribuir coordenadas a esses pontos e aplicar a fórmula do volume de um tetraedro em termos de determinante.

Passo 2

Em relação ao sistema (A;AB,AD,AE), temos
A=(0,0,0),; B=(1,0,0),; D=(0,1,0),; E=(0,0,1),; G=(1,1,1)

Passo 3

Escolhemos B como vértice comum e formamos os vetores
BE=E-B=(-1,0,1), BD=D-B=(-1,1,0), BG=G-B=(0,1,1)

Passo 4

O volume do tetraedro é
V=16l|detl[BE,,BD,,BGr]r|
Calculando o determinante:
det -1 & 0 & 1 -1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 =-1cdot(1cdot1-0cdot1) +0cdot(dots) +1cdot(-1cdot1-1cdot0) =-1-1=-2,
logo l|detr|=2.

Passo 5

Substituindo na fórmula do volume:
V=16times2=13

Resposta

13.

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