Exercício 21. Aplique a regra da cadeia para obter f^{\prime}(x) se f(x)=\cos (5 x-2).

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede sua derivada. Informações fornecidas:
f(x)=\cos(5x-2).
Pergunta: calcular f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Entendendo a estrutura da função: f(x) é uma composição de duas funções — uma função “externa” aplicada a uma “interna”. Para ver isso claramente, definimos:
g(u)=\cos(u)\quad\text{(função externa)}çã
h(x)=5x-2\quad\text{(função interna)}çã
Então podemos escrever
f(x)=g(h(x)).
A regra que usamos para derivar uma composição é a regra da cadeia, que diz (em palavras simples): a derivada da composição é a derivada da função externa avaliada na função interna, multiplicada pela derivada da função interna.

Passo 3

Escrevendo a regra da cadeia como fórmula: se f(x)=g(h(x)), então
f'(x)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x).
Explicando os símbolos:
  • g' é a derivada de g em relação ao seu argumento (que chamei de u);
  • h'(x) é a derivada de h em relação a x;
  • g'\big(h(x)\big) significa que após calcular g'(u) substituímos u por h(x).

Passo 4

Calculando a derivada da função externa g(u)=\cos(u). É uma regra básica de derivadas que
\frac{d}{du}\cos(u)=-\sin(u).
Ou seja,
g'(u)=-\sin(u).
Aqui u é o argumento genérico de g. Quando aplicarmos a regra da cadeia, iremos trocar u por h(x).

Passo 5

Calculando a derivada da função interna h(x)=5x-2. Como h é uma função linear na forma ax+b, sua derivada é simplesmente o coeficiente a. Portanto
h'(x)=5.
Explicando: a derivada de \,5x\, é 5 e a derivada de uma constante -2 é 0, logo soma dá 5.

Passo 6

Agora aplicamos a regra da cadeia passo a passo. Usando
g'(u)=-\sin(u)\quad\text{e}\quad h(x)=5x-2,\; h'(x)=5,
temos
f'(x)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x) = -\sin\big(h(x)\big)\cdot 5.
Substituindo h(x)=5x-2,
f'(x) = -\sin(5x-2)\cdot 5.
Como a multiplicação é comutativa, normalmente escrevemos o resultado de forma mais limpa como
f'(x) = -5\sin(5x-2).

Resposta

-5\sin(5x-2)

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