Exercício 21. Aplique a regra da cadeia para obter
se
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede sua derivada. Informações fornecidas:
Pergunta: calcular
, a derivada de
em função de
.
Passo 2
Entendendo a estrutura da função:
é uma composição de duas funções — uma função “externa” aplicada a uma “interna”. Para ver isso claramente, definimos:
Então podemos escrever
A regra que usamos para derivar uma composição é a regra da cadeia, que diz (em palavras simples): a derivada da composição é a derivada da função externa avaliada na função interna, multiplicada pela derivada da função interna.
Passo 3
Escrevendo a regra da cadeia como fórmula: se
, então
Explicando os símbolos:
-
é a derivada de em relação ao seu argumento (que chamei de ); -
é a derivada de em relação a ; -
significa que após calcular substituímos por .
Passo 4
Calculando a derivada da função externa
. É uma regra básica de derivadas que
Ou seja,
Aqui
é o argumento genérico de
. Quando aplicarmos a regra da cadeia, iremos trocar
por
.
Passo 5
Calculando a derivada da função interna
. Como
é uma função linear na forma
, sua derivada é simplesmente o coeficiente
. Portanto
Explicando: a derivada de
é
e a derivada de uma constante
é
, logo soma dá
.
Passo 6
Agora aplicamos a regra da cadeia passo a passo. Usando
temos
Substituindo
,
Como a multiplicação é comutativa, normalmente escrevemos o resultado de forma mais limpa como