Exercício 24. Encontre a derivada da função composta
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a derivada da função composta
.\n
Informações dadas e o que precisamos observar:\n
Informações dadas e o que precisamos observar:\n
- A função
é escrita como uma composição: uma função externa envolvendo aplicada a uma função interna .\n - Precisamos obter
, isto é, a taxa de variação de em relação a .\n - Não há outras condições extras no enunciado (domínio, pontos específicos etc.), então basta diferenciar a expressão geral.
Passo 2
Ideia geral (passo-a-passo): separar em uma função externa e uma interna para facilitar a diferenciação.\n
Defina a função interna e a função externa
:\n
Defina a função interna
Assim
. A estratégia é calcular
(derivada de
em relação a
) e
(derivada de
em relação a
), e depois combiná-las.
Passo 3
Derivada da função externa
em relação a
.\n
Vamos deduzir usando a representação
e a regra do quociente (que diz que a derivada de
é
).\n
Aplicando ao nosso caso:\n
Vamos deduzir
Aplicando ao nosso caso:\n
Como
, obtemos
Portanto
. (Aqui
significa
.)
Passo 4
Derivada da função interna
em relação a
.\n
A exponencial tem a propriedade especial de que sua derivada é ela mesma:
A exponencial tem a propriedade especial de que sua derivada é ela mesma:
Isso é uma propriedade básica e muito útil — a função exponencial não muda de forma ao derivar.
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia (multiplicar a derivada da externa avaliada na interna pela derivada da interna).\n
A forma geral que usamos é: se , então
A forma geral que usamos é: se
Já temos
(Passo 3) e
(Passo 4). Substituindo
na derivada externa, obtemos a expressão que, ao simplificarmos, nos dará a derivada final de
.
Passo 6
Interpretação final e forma alternativa (sem repetir a resposta final aqui, apenas explicando como interpretá-la no caderno de prova).\n
- A derivada da parte externa gera um fator do tipo
; como o “algo” é , esse fator fica .\n- Multiplicamos esse fator por , que é a derivada da parte interna.\n- Se preferir ver sem a notação , lembre que , então a expressão também pode ser escrita como .\n\nExemplo rápido extra para fixar: para procedemos igual — a derivada seria . Aqui o “3” vem da derivada de .