Exercício 24. Encontre a derivada da função composta f(x)=\tan \left(e^{x}\right).

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a derivada da função composta f(x)=\tan\!\left(e^{x}\right).\n
Informações dadas e o que precisamos observar:\n
  • A função f é escrita como uma composição: uma função externa envolvendo \tan(\cdot) aplicada a uma função interna \,e^{x}\,.\n
  • Precisamos obter f'(x), isto é, a taxa de variação de f em relação a x.\n
  • Não há outras condições extras no enunciado (domínio, pontos específicos etc.), então basta diferenciar a expressão geral.

Passo 2

Ideia geral (passo-a-passo): separar em uma função externa e uma interna para facilitar a diferenciação.\n
Defina a função interna u(x) e a função externa g(u):\n
u(x)=e^{x}
g(u)=\tan(u)
Assim f(x)=g(u(x)). A estratégia é calcular g'(u) (derivada de \tan em relação a u) e u'(x) (derivada de e^{x} em relação a x), e depois combiná-las.

Passo 3

Derivada da função externa g(u)=\tan(u) em relação a u.\n
Vamos deduzir g'(u) usando a representação \tan(u)=\dfrac{\sin(u)}{\cos(u)} e a regra do quociente (que diz que a derivada de \dfrac{A(u)}{B(u)} é \dfrac{A'(u)B(u)-A(u)B'(u)}{B(u)^2}).\n
Aplicando ao nosso caso:\n
\frac{d}{du}\tan(u)=\frac{d}{du}\!\left(\frac{\sin(u)}{\cos(u)}\right) =\frac{\cos(u)\cdot\cos(u)-\sin(u)\cdot(-\sin(u))}{\cos^{2}(u)}
=\frac{\cos^{2}(u)+\sin^{2}(u)}{\cos^{2}(u)}
Como \cos^{2}(u)+\sin^{2}(u)=1, obtemos
\frac{d}{du}\tan(u)=\frac{1}{\cos^{2}(u)}=\operatorname{sec}^{2}(u).
Portanto g'(u)=\operatorname{sec}^{2}(u). (Aqui \operatorname{sec}(u) significa \dfrac{1}{\cos(u)}.)

Passo 4

Derivada da função interna u(x)=e^{x} em relação a x.\n
A exponencial tem a propriedade especial de que sua derivada é ela mesma:
u'(x)=\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Isso é uma propriedade básica e muito útil — a função exponencial não muda de forma ao derivar.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia (multiplicar a derivada da externa avaliada na interna pela derivada da interna).\n
A forma geral que usamos é: se f(x)=g(u(x)), então
f'(x)=g'\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Já temos g'(u)=\operatorname{sec}^{2}(u) (Passo 3) e u'(x)=e^{x} (Passo 4). Substituindo u(x)=e^{x} na derivada externa, obtemos a expressão que, ao simplificarmos, nos dará a derivada final de f.

Passo 6

Interpretação final e forma alternativa (sem repetir a resposta final aqui, apenas explicando como interpretá-la no caderno de prova).\n
  • A derivada da parte externa gera um fator do tipo \operatorname{sec}^{2}(\text{algo}); como o “algo” é e^{x}, esse fator fica \operatorname{sec}^{2}\!\big(e^{x}\big).\n- Multiplicamos esse fator por e^{x}, que é a derivada da parte interna.\n- Se preferir ver sem a notação \operatorname{sec}, lembre que \operatorname{sec}^{2}\big(e^{x}\big)=\dfrac{1}{\cos^{2}\!\big(e^{x}\big)}, então a expressão também pode ser escrita como \dfrac{e^{x}}{\cos^{2}\!\big(e^{x}\big)}.\n\nExemplo rápido extra para fixar: para h(x)=\tan(3x) procedemos igual — a derivada seria \operatorname{sec}^{2}(3x)\cdot 3. Aqui o “3” vem da derivada de 3x.

Resposta

f'(x)=\operatorname{sec}^{2}\!\big(e^{x}\big)\,e^{x}

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