Exercício 20. Determine a derivada de
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a derivada de
.
Informações dadas: a função é a composição do logaritmo natural com a função quadrática . Não há mais dados (domínio implícito:
, o que vale para todo
).
Informações dadas: a função é a composição do logaritmo natural com a função quadrática
Passo 2
Qual método usar? Aqui temos uma função composta: primeiro entra a função interna
e depois aplicamos
sobre ela. Para derivar uma função composta usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que se
então
Isto é: derivamos a função externa avaliando-a na interna e multiplicamos pela derivada da função interna.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia ao caso do logaritmo. Tome
e
. Sabemos a derivada da função externa
:
Isso significa que, pela regra da cadeia,
Aqui expliquei o porquê: derivar
em relação a
é igual a derivar
em relação a
(que dá
) e multiplicar por
.
Passo 4
Identificar a função interna e calcular sua derivada. A função interna é
Agora aplicamos a regra do poder (power rule) e a linha de soma: a derivada de
é
, constantes multiplicativas saem da derivada, e a derivada de uma constante é zero. Logo,
Passo 5
Agora juntamos tudo usando a fórmula do Passo 3:
Expliquei: no numerador vai a derivada da interna
e no denominador a própria interna
.
Passo 6
Cheque rápido e intérprete: por exemplo, em
temos
. Faz sentido: derivada positiva porque a parte interna cresce e o log preserva o sinal da derivada via divisão por número positivo.
Passo 7
Dica prática para prova: quando ver
pense imediatamente em
. Não esqueça de derivar corretamente a parte interna (aqui deu
). Respira fundo, aplica a regra da cadeia e pronto — é direto.