Exercício 20. Determine a derivada de f(x)=\ln \left(3 x^{2}+1\right).

Passo 1

O enunciado pede: determinar a derivada de f(x)=\ln\left(3x^{2}+1\right).
Informações dadas: a função é a composição do logaritmo natural com a função quadrática 3x^{2}+1. Não há mais dados (domínio implícito: 3x^{2}+1>0, o que vale para todo x).

Passo 2

Qual método usar? Aqui temos uma função composta: primeiro entra a função interna u(x)=3x^{2}+1 e depois aplicamos \ln sobre ela. Para derivar uma função composta usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que se f(x)=g(h(x)) então
f'(x)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x).
Isto é: derivamos a função externa avaliando-a na interna e multiplicamos pela derivada da função interna.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia ao caso do logaritmo. Tome g(u)=\ln u e h(x)=u(x)=3x^{2}+1. Sabemos a derivada da função externa g(u)=\ln u:
g'(u)=\frac{1}{u}.
Isso significa que, pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\ln\big(u(x)\big)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui expliquei o porquê: derivar \ln u em relação a x é igual a derivar \ln em relação a u (que dá 1/u) e multiplicar por du/dx.

Passo 4

Identificar a função interna e calcular sua derivada. A função interna é
u(x)=3x^{2}+1.
Agora aplicamos a regra do poder (power rule) e a linha de soma: a derivada de x^{2} é 2x, constantes multiplicativas saem da derivada, e a derivada de uma constante é zero. Logo,
u'(x)=3\cdot\frac{d}{dx}(x^{2})+\frac{d}{dx}(1)=3\cdot(2x)+0=6x.

Passo 5

Agora juntamos tudo usando a fórmula do Passo 3:
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{6x}{3x^{2}+1}.
Expliquei: no numerador vai a derivada da interna 6x e no denominador a própria interna 3x^{2}+1.

Passo 6

Cheque rápido e intérprete: por exemplo, em x=1 temos f'(1)=\dfrac{6\cdot1}{3\cdot1^{2}+1}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}. Faz sentido: derivada positiva porque a parte interna cresce e o log preserva o sinal da derivada via divisão por número positivo.

Passo 7

Dica prática para prova: quando ver \ln(\text{algo}) pense imediatamente em \dfrac{(\text{derivada do algo})}{\text{algo}}. Não esqueça de derivar corretamente a parte interna (aqui deu 6x). Respira fundo, aplica a regra da cadeia e pronto — é direto.

Resposta

f'(x)=\dfrac{6x}{3x^{2}+1}

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