Exercício 21. (Apostol, capítulo 7.20, exercício 1) Seja
uma função com valores reais. Prove que
tem solução
em que
.
Passo 1
O exercício pede para resolver a equação diferencial de matriz não-homogênea
onde
é função real,
é matriz constante,
é termo não homogêneo e
é condição inicial. O método que vamos usar é o fator integrante (ou método de variação de parâmetros) estendido ao caso matricial.
Passo 2
Definimos
de modo que
Reescrevendo a equação, temos
Passo 3
Como em escalares, procuramos um fator integrante que anule o termo
. Tomamos
Usamos que a derivada de
é
Passo 4
Multiplicamos a equação original à esquerda por
:
Observe que, pelo produto,
Logo a equação vira
Passo 5
Integramos de
até
:
Mas
e
. Então
Passo 6
Multiplicando à esquerda por
(que é inversa de
), obtemos
que é exatamente a forma indicada.