Exercício 21. (Apostol, capítulo 7.20, exercício 1) Seja p uma função com valores reais. Prove que
Y^prime(t)=p(t) A Y(t)+Q(t), Y(a)=B
tem solução
Y(t)=e^q(t) A B+e^q(t) A integrala^t e^-q(s) A Q(s) d s
em que q(t)=integrala^t p(s) d s.

Passo 1

O exercício pede para resolver a equação diferencial de matriz não-homogênea
Y'(t)=p(t),A,Y(t)+Q(t), Y(a)=B,
onde p é função real, A é matriz constante, Q(t) é termo não homogêneo e B é condição inicial. O método que vamos usar é o fator integrante (ou método de variação de parâmetros) estendido ao caso matricial.

Passo 2

Definimos
q(t)=integrala^tp(s),ds,
de modo que
q'(t)=p(t)
Reescrevendo a equação, temos
Y'(t)-p(t),A,Y(t)=Q(t)

Passo 3

Como em escalares, procuramos um fator integrante que anule o termo -p(t)A,Y. Tomamos
M(t)=e^-,q(t),A
Usamos que a derivada de e^-q(t)A é
M'(t)=-,q'(t),A,e^-q(t)A=-,p(t),A,M(t)

Passo 4

Multiplicamos a equação original à esquerda por M(t):
M(t),Y'(t)-p(t),A,M(t),Y(t)=M(t),Q(t)
Observe que, pelo produto,
l(M(t),Y(t)r)'=M'(t),Y(t)+M(t),Y'(t) =-,p(t),A,M(t),Y(t)+M(t),Y'(t)
Logo a equação vira
l(M(t),Y(t)r)'=M(t),Q(t)

Passo 5

Integramos de a até t:
M(t),Y(t)-M(a),Y(a) =integrala^tM(s),Q(s),ds
Mas M(a)=e^-q(a)A=e^0cdot A=I e Y(a)=B. Então
M(t),Y(t)=B+integrala^te^-q(s)A,Q(s),ds

Passo 6

Multiplicando à esquerda por e^q(t)A (que é inversa de M(t)), obtemos
Y(t) =e^q(t)A,B +e^q(t)Aintegrala^te^-q(s)A,Q(s),ds,
que é exatamente a forma indicada.

Resposta

Y(t)=e^q(t)A,B +e^q(t)Aintegrala^te^-q(s)A,Q(s),ds, q(t)=integrala^tp(s),ds

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