Exercício 21. (Apostol seção 13.22 exercício 2) Seja S=a0, a1, ldots cupb0, b1, ldots o espaço amostral formado por dois conjuntos enumeráveis distintos. Mostre que podemos definir uma função probabilidade no conjunto dos subconjuntos de S pelas expressões:
P(an)=P(bn)=1(n+2)(n+3), n=0,1,2, ldots

Passo 1

O enunciado tem o espaço amostral
S=a0,a1,ldotscupb0,b1,ldots
e define a função nos átomos por
P(an)=P(bn)=1(n+2)(n+3), n=0,1,2,dots
Queremos mostrar que isso determina uma medida de probabilidade em todos os subconjuntos de S. Para isso, basta verificar que todos os P(x) são não\mbox{-}negativos e que
sumxin SP(x)=1,
pois então podemos definir para qualquer Asubset S
P(A)=sumxin AP(x)
e garantir que P satisfaz as axiomas de Kolmogorov em um espaço enumerável.

Passo 2

Escrevemos a soma total das probabilidades sobre todos os átomos de S:
sumn=0^inftyl(P(an)+P(bn)r) =sumn=0^infty2;1(n+2)(n+3)

Passo 3

Observamos que cada termo da soma é telescópico, pois
1(n+2)(n+3) =1n+2-1n+3

Passo 4

Considere a soma parcial até N:
sumn=0^N2l(1n+2-1n+3r) =2l(12-13+13-14+cdots+1N+2-1N+3r) =2l(12-1N+3r)
Isso é
1-2,N+3,
Fazendo Ntoinfty, o termo tfrac2N+3to0, logo a soma infinita vale exatamente 1.

Passo 5

Concluímos que
sumxin SP(x)=1
e P(x)>=0 para todo x. Portanto, ao definir
P(A)=sumxin AP(x)
para qualquer Asubset S, obtemos uma medida de probabilidade no espaço (S,2^S).

Resposta

Dessa forma, as fórmulas
P(an)=P(bn)=1(n+2)(n+3), n=0,1,2,dots
geram uma função de probabilidade válida em todos os subconjuntos de S.

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