Exercício 21. (Apostol seção 13.22 exercício 2) Seja
o espaço amostral formado por dois conjuntos enumeráveis distintos. Mostre que podemos definir uma função probabilidade no conjunto dos subconjuntos de
pelas expressões:
Passo 1
O enunciado tem o espaço amostral
e define a função nos átomos por
e define a função nos átomos por
Queremos mostrar que isso determina uma medida de probabilidade em todos os subconjuntos de
. Para isso, basta verificar que todos os
são não\mbox{-}negativos e que
pois então podemos definir para qualquer
e garantir que
satisfaz as axiomas de Kolmogorov em um espaço enumerável.
Passo 2
Escrevemos a soma total das probabilidades sobre todos os átomos de
:
Passo 3
Observamos que cada termo da soma é telescópico, pois
Passo 4
Considere a soma parcial até
:
Isso é
Fazendo
, o termo
, logo a soma infinita vale exatamente
.
Passo 5
Concluímos que
e
para todo
. Portanto, ao definir
para qualquer
, obtemos uma medida de probabilidade no espaço
.
Resposta
Dessa forma, as fórmulas
geram uma função de probabilidade válida em todos os subconjuntos de
.