Exercício 21. (Apostol seção 13.22 exercício 2) Seja S=a0, a1, ldots cupb0, b1, ldots o espaço amostral formado por dois conjuntos enumeráveis distintos. Mostre que podemos definir uma função probabilidade no conjunto dos subconjuntos de S pelas expressões:
P(an)=P(bn)=12^n+2, n=0,1,2, ldots

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço amostral
S=a0,a1,dotscupb0,b1,dots
e propõe definir uma função P nos subconjuntos de S atribuindo
P(an)=P(bn)=12^n+2, n=0,1,2,dots
O conteúdo é probabilidade discreta: precisamos verificar que esses pesos são não-negativos, somam 1 e que a atribuição a qualquer evento Asubseteq S via soma dos pesos satisfaz a aditividade contável.

Passo 2

Checagem de não-negatividade. Para todo n>=0 temos
P(an)=12^n+2>0 e P(bn)=12^n+2>0
Logo P(omega)>=0 para todo ponto omegain S.

Passo 3

Normalização: somar os pesos de todos os pontos de S. Como há dois pontos por índice n,
sumomegain SP(omega) =sumn=0^inftyl[P(an)+P(bn)r] =sumn=0^infty2cdot12^n+2
Mas
sumn=0^infty12^n+2 =14sumn=0^inftyl(tfrac12r)^n =14cdot11-tfrac12 =14cdot2 =12,
portanto
sumomegain SP(omega) =2cdot12 =1

Passo 4

Definição de P em qualquer evento Asubseteq S. Como
sumomegain SP(omega) converge absolutamente, dado Asubseteq S podemos definir
P(A);=;sumomegain AP(omega)
Essa soma é bem-definida (não depende da ordem) e satisfaz as propriedades de medida em conjunto contável:
  1. P(varnothing)=0, pois soma vazia.
  2. Se A1,A2,dots são disjuntos dois a dois, então
Pl(sqcupkAkr) =sumomegaincup AkP(omega) =sumksumomegain AkP(omega) =sumkP(Ak)

Resposta

Atribuindo a cada ponto omegain S o peso P(omega)=1/2^n+2 se omega=an ou omega=bn, e estendendo a qualquer evento Asubseteq S por
P(A)=sumomegain AP(omega),
obtemos uma medida de probabilidade discreta em S, pois os pesos são não-negativos, somam 1 e satisfazem aditividade contável.

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