Exercício 21. (Apostol seção 13.22 exercício 2) Seja
o espaço amostral formado por dois conjuntos enumeráveis distintos. Mostre que podemos definir uma função probabilidade no conjunto dos subconjuntos de
pelas expressões:
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço amostral
e propõe definir uma função
nos subconjuntos de
atribuindo
O conteúdo é probabilidade discreta: precisamos verificar que esses pesos são não-negativos, somam
e que a atribuição a qualquer evento
via soma dos pesos satisfaz a aditividade contável.
Passo 2
Checagem de não-negatividade. Para todo
temos
Logo
para todo ponto
.
Passo 3
Normalização: somar os pesos de todos os pontos de
. Como há dois pontos por índice
,
Mas
portanto
Passo 4
Definição de
em qualquer evento
. Como
converge absolutamente, dado
podemos definir
Essa soma é bem-definida (não depende da ordem) e satisfaz as propriedades de medida em conjunto contável:
-
, pois soma vazia. - Se
são disjuntos dois a dois, então
Resposta
Atribuindo a cada ponto
o peso
se
ou
, e estendendo a qualquer evento
por
obtemos uma medida de probabilidade discreta em
, pois os pesos são não-negativos, somam
e satisfazem aditividade contável.