Exercício 21. (Apostol seção 2.20 exercícios 1 a 8) Ache as soluções (se existirem dos seguintes sistemas)
l3 x+2 y+1 z=1 5 x+3 y+3 z=2 7 x+4 y+5 z=3

Passo 1

Resumindo: temos o sistema de três equações lineares
3x + 2y + z = 1, 5x + 3y + 3z = 2, 7x + 4y + 5z = 3,
e o objetivo é encontrar suas soluções usando eliminação de Gauss.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e eliminamos x das segunda e terceira equações. Por exemplo, calculamos
3cdot(5x+3y+3z=2);-;5cdot(3x+2y+z=1)
que gera
-,y + 4z = 1,
e
3cdot(7x+4y+5z=3);-;7cdot(3x+2y+z=1)
que gera
-2y + 8z = 2

Passo 3

Observamos que a segunda equação reduzida -,y+4z=1 e a terceira -2y+8z=2 são proporcionais: basta multiplicar a primeira por 2 para obter a segunda. Logo, temos apenas duas equações independentes.

Passo 4

Introduzimos o parâmetro livre z = t. Da equação
-,y + 4z = 1
temos
y = 4t - 1
Em seguida, substituímos em 3x + 2y + z = 1:
3x + 2(4t - 1) + t = 1
3x + 8t - 2 + t = 1
3x + 9t = 3
x = 1 - 3t

Resposta

As soluções são
(x,y,z) = l(1 - 3t,;4t - 1,;tr),
com t in R.

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