8.4C Encontre a solução geral dos seguintes sistemas:
Passo 1
O enunciado dá o sistema de equações lineares
que podemos escrever em forma matricial
, com
e pede a solução geral. O conteúdo é resolução de sistemas lineares por autovalores e autovetores.]
Passo 2
Para encontrar os autovalores de
computamos o polinômio característico
Expandindo,
logo
]
Passo 3
Igualando a zero o polinômio,
Passo 4
Agora achamos os autovetores.
Para
, resolvemos
:
implica
-4v1+4v2=0 , ou seja
v1=v2 . Podemos escolher
Para
lambda=-1 , resolvemos
(A+I)w=0 :
implica
-2w1+4w2=0 , ou seja
w1=2w2 . Podemos escolher
]
Passo 5
A solução geral do sistema é combinação linear das soluções fundamentais
e^lambda tv . Assim
onde
C1,C2 são constantes arbitrárias. Em componentes,
Resposta
ou seja