8.4C Encontre a solução geral dos seguintes sistemas:
ldotx1=-3 x1+4 x2 dotx2=-2 x1+3 x2

Passo 1

O enunciado dá o sistema de equações lineares
dot x1=-3,x1+4,x2, dot x2=-2,x1+3,x2,
que podemos escrever em forma matricial dot x = A,x, com
A = -3 & 4 [6pt] -2 & 3,
e pede a solução geral. O conteúdo é resolução de sistemas lineares por autovalores e autovetores.]

Passo 2

Para encontrar os autovalores de A computamos o polinômio característico
det(A - lambda I) = det!-3-lambda & 4 [3pt] -2 & 3-lambda =(-3-lambda)(3-lambda)-4cdot(-2)
Expandindo,
(-3-lambda)(3-lambda)=lambda^2 -9,
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det(A - lambda I)=lambda^2 -9 +8=lambda^2 -1
]

Passo 3

Igualando a zero o polinômio,
lambda^2 -1=0Longrightarrow lambda=pm1

Passo 4

Agora achamos os autovetores.
Para lambda=1, resolvemos (A-I)v=0:
-3-1 & 4 [3pt] -2 & 3-1v =-4 & 4 -2 & 2v=0
implica -4v1+4v2=0, ou seja v1=v2. Podemos escolher
v^(1)=11
Para lambda=-1, resolvemos (A+I)w=0:
-3+1 & 4 [3pt] -2 & 3+1w =-2 & 4 -2 & 4w=0
implica -2w1+4w2=0, ou seja w1=2w2. Podemos escolher
v^(2)=21
]

Passo 5

A solução geral do sistema é combinação linear das soluções fundamentais e^lambda tv. Assim
x(t)=C1,e^t11 + C2,e^-t21,
onde C1,C2 são constantes arbitrárias. Em componentes,
x1(t)=C1,e^t+2,C2,e^-t, x2(t)=C1,e^t+C2,e^-t

Resposta

x(t)=C1e^t11 + C2e^-t21,
ou seja
x1(t)=C1e^t+2C2e^-t, x2(t)=C1e^t+C2e^-t

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