Exercício 21. (Apostol seção 2.20 exercícios 1 a 8) Ache as soluções (se existirem dos seguintes sistemas)
c1 x+1 y+2 z+3 u+4 v=0 2 x+2 y+7 z+11 u+14 v=0 3 x+3 y+6 z+10 u+15 v=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear de três equações e cinco incógnitas
x + y + 2z + 3u + 4v = 0, 2x + 2y + 7z + 11u + 14v = 0, 3x + 3y + 6z + 10u + 15v = 0
O conteúdo é eliminação de Gauss para sistemas sub-determinados. Vamos montar a matriz aumentada e usar operações de linha para triangular.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e eliminamos abaixo de x:
[ccccc|c 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 0 2 & 2 & 7 & 11 & 14 & 0 3 & 3 & 6 & 10 & 15 & 0 ]
Fazendo R2 R2-2R1 e R3 R3-3R1 obtemos
[ccccc|c 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 0 0 & 0 & 3 & 5 & 6 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 3 & 0 ]

Passo 3

Da última linha vem
u + 3v = 0Longrightarrow u = -3v
Da segunda linha:
3z + 5u + 6v = 0 Longrightarrow 3z +5(-3v)+6v=0 Longrightarrow 3z -9v = 0 Longrightarrow z = 3v

Passo 4

Na primeira linha temos
x + y + 2z + 3u +4v = 0
Substituindo z=3v e u=-3v,
x + y +2(3v)+3(-3v)+4v =0 Longrightarrow x + y +6v -9v +4v =0 Longrightarrow x + y + v =0 Longrightarrow x = -y - v
Escolhemos y e v como variáveis livres, digamos y=s, v=t.

Resposta

As soluções existem e formam um espaço de dimensão 2, dado por
(x,y,z,u,v)=(-s - t,;s,;3t,;-3t,;t),
com s,tinR.

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