Exercício 21 Construir um triângulo retângulo conhecendo-se a mediana e a altura relativa a hipotenusa.
Passo 1
Resumindo: queremos construir um triângulo retângulo
(ângulo reto em
) conhecendo-se
- a mediana
relativa à hipotenusa , - e a altura
relativa a essa mesma hipotenusa.
Conteúdo: usamos relações métricas no triângulo retângulo (hipotenusa, altura e projeções) e construção com régua e compasso.
Passo 2
Em qualquer triângulo retângulo vale
pois a mediana ao longo da hipotenusa equivale a metade desta. Além disso, a altura
ao longo da hipotenusa divide
em projeções
e
tais que
Logo
e
são raízes de
isto é
Definimos
Passo 3
Construir com régua e compasso o segmento de comprimento
:
- Sobre uma reta qualquer trace o segmento
de comprimento . - Em
trace reta perpendicular a e marque em direção oposta o ponto tal que . - Una
a . - Pelo ponto
trace reta perpendicular a ; ela corta a reta num ponto .
Então
Passo 4
Em outra reta construa o segmento
de comprimento
Passo 5
Sobre
, a partir de
, marque o ponto
tal que
Então necessariamente
Passo 6
Em
trace reta perpendicular a
e, sobre essa perpendicular, marque o ponto
de modo que
Passo 7
Una
a
e
a
.
O triângulo obtido é retângulo em
, pois
, tem altura
e, se
é o ponto médio de
, então
O triângulo
ou seja, a mediana
.
Resposta
O triângulo construído em
com os pontos
e
definidos acima satisfaz as condições de altura
e mediana
.