Exercício 21 Construir um triângulo retângulo conhecendo-se a mediana e a altura relativa a hipotenusa.

Passo 1

Resumindo: queremos construir um triângulo retângulo ABC (ângulo reto em C) conhecendo-se
  • a mediana CM=m relativa à hipotenusa AB,
  • e a altura CD=h relativa a essa mesma hipotenusa.
    Conteúdo: usamos relações métricas no triângulo retângulo (hipotenusa, altura e projeções) e construção com régua e compasso.

Passo 2

Em qualquer triângulo retângulo vale
AB=c=2m
pois a mediana ao longo da hipotenusa equivale a metade desta. Além disso, a altura h ao longo da hipotenusa divide AB em projeções p e q tais que
p+q=c=2m, pq=h^2
Logo p e q são raízes de
t^2-(2m)t+h^2=0,
isto é
p,q = mpm raizm^2-h^2
Definimos
d = raizm^2-h^2

Passo 3

Construir com régua e compasso o segmento de comprimento d=raizm^2-h^2:
  1. Sobre uma reta qualquer trace o segmento XY de comprimento ,XY=m.
  2. Em X trace reta perpendicular a XY e marque em direção oposta o ponto Z tal que XZ=h.
  3. Una Z a Y.
  4. Pelo ponto Z trace reta perpendicular a ZY; ela corta a reta XY num ponto W.
    Então
XW = raizXY^2 - XZ^2 = raizm^2 - h^2 = d

Passo 4

Em outra reta construa o segmento AB de comprimento
AB = 2m

Passo 5

Sobre AB, a partir de A, marque o ponto D tal que
AD = m + d
Então necessariamente
DB = AB - AD = 2m - (m+d)= m - d

Passo 6

Em D trace reta perpendicular a AB e, sobre essa perpendicular, marque o ponto C de modo que
CD = h

Passo 7

Una C a A e C a B.
O triângulo ABC obtido é retângulo em C, pois CDperp AB, tem altura CD=h e, se M é o ponto médio de AB, então
CM = raiz(MD)^2 + (CD)^2 = raizd^2 + h^2 = raizm^2-h^2+h^2 = m,
ou seja, a mediana CM=m.

Resposta

O triângulo construído em AB com os pontos D e C definidos acima satisfaz as condições de altura h e mediana m.

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