Exercício 7 Dado um ângulo e dois pontos
e
no seu interior determinar os pontos
e
situados cada um num lado do ângulo de modo que tenhamos:
mínimo.
Passo 1
O enunciado dá um ângulo com vértice
e lados
e
, e dois pontos
e
em seu interior. Queremos escolher
e
de modo a minimizar
O método que vamos usar é o de reflexões sucessivas (“desdobramento” do ângulo), transformando o caminho quebrado em um segmento de reta.
Passo 2
Primeiro, refletimos o ponto
em relação ao lado
. Chamemos essa imagem de
Em seguida, refletimos
em relação ao lado
, obtendo
Por propriedades de reflexão, para qualquer ponto
em
ou
vale que a distância de
a
é igual à distância de
(ou
) ao ponto refletido correspondente.
Passo 3
Agora desenhamos o segmento de reta
Esse segmento atravessa as imagens das retas
e
(na ordem inversa à das reflexões). Denotemos:
— o ponto em que
corta a imagem de
.
— o ponto em que
corta a imagem de
.
—
—
Passo 4
Para retornar ao ângulo original, refletimos de volta:
Assim
pertence ao lado
e
pertence ao lado
.
Passo 5
Pela construção e pelas propriedades das reflexões, temos
logo
Como em todo plano a menor distância entre dois pontos é a reta, o segmento
é o mais curto possível. Portanto a escolha de
e
feita acima minimiza
.
Resposta
Seja
reflexão de
em
e
reflexão de
em
. Trace o segmento
, chame de
e
as interseções desse segmento com as imagens de
e
, respectivamente. Finalmente, reflita
em
para obter
e reflita
em
para obter
. Esses são os pontos que tornam
mínimo.