Exercício 7 Dado um ângulo e dois pontos A e B no seu interior determinar os pontos C e D situados cada um num lado do ângulo de modo que tenhamos: A C+C D+D B mínimo.

Passo 1

O enunciado dá um ângulo com vértice O e lados ell e m, e dois pontos A e B em seu interior. Queremos escolher Cinell e Din m de modo a minimizar
AC + CD + DB
O método que vamos usar é o de reflexões sucessivas (“desdobramento” do ângulo), transformando o caminho quebrado em um segmento de reta.

Passo 2

Primeiro, refletimos o ponto A em relação ao lado ell. Chamemos essa imagem de
A' = ref<=xão de A em ell ã
Em seguida, refletimos A' em relação ao lado m, obtendo
A'' = ref<=xão de A' em m ã
Por propriedades de reflexão, para qualquer ponto X em ell ou m vale que a distância de A a X é igual à distância de A' (ou A'') ao ponto refletido correspondente.

Passo 3

Agora desenhamos o segmento de reta
A''B
Esse segmento atravessa as imagens das retas m e ell (na ordem inversa à das reflexões). Denotemos:
D' o ponto em que A''B corta a imagem de m.
C' o ponto em que A''B corta a imagem de ell.

Passo 4

Para retornar ao ângulo original, refletimos de volta:
D = ref<=xão de D' em m, C = ref<=xão de C' em ell ãã
Assim D pertence ao lado m e C pertence ao lado ell.

Passo 5

Pela construção e pelas propriedades das reflexões, temos
AC = A'C', CD = C'D', DB = D'B,
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AC + CD + DB = A'C' + C'D' + D'B = A''B
Como em todo plano a menor distância entre dois pontos é a reta, o segmento A''B é o mais curto possível. Portanto a escolha de C e D feita acima minimiza AC+CD+DB.

Resposta

Seja A' reflexão de A em ell e A'' reflexão de A' em m. Trace o segmento A''B, chame de D' e C' as interseções desse segmento com as imagens de m e ell, respectivamente. Finalmente, reflita D' em m para obter D e reflita C' em ell para obter C. Esses são os pontos que tornam
AC + CD + DB
mínimo.

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