Exercício 1 Por um ponto dado A traçar uma reta tal que a parte compreendida entre duas retas paralelas dadas sejam igual a um comprimento dado.

Passo 1

O enunciado dá duas retas paralelas p e q, um ponto A e um segmento de comprimento dado L. Queremos traçar, com régua e compasso, uma reta g passando por A que corte p em X e q em Y de modo que
XY = L
O truque é usar o fato de que, se a distância entre as paralelas é h e a reta g faz um ângulo varphi com elas, então
XY ;=;hsinvarphi
Portanto basta escolher varphi tal que sinvarphi = tfrachL e traçar em A uma reta que forme esse ângulo com as paralelas.

Passo 2

Traçar em A uma perpendicular d a p (e a q, pois são paralelas). Seja H o pé dessa perpendicular em p e K o pé em q. Com o compasso, medir a distância
h = HK

Passo 3

Num papel auxiliar, a partir de um ponto O qualquer traçar um semirreta r. Sobre r marcar OB = h. Com centro em O e raio L traçar um arco que corte a reta perpendicular a r por B num ponto M. Assim no triângulo OBM temos
OB = h, OM = L, ang<= OBM = 90^circ,
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sinl(ang<= BOMr) = OBOM = hL
Denotemos theta = ang<= BOM, então sintheta = tfrachL.

Passo 4

Voltando ao ponto A, transferir o ângulo theta para cima de A de modo que um dos lados do ângulo coincida com a perpendicular d a p. Para isso use o compasso e régua: coloque a vértice do ângulo em A, alinhe um dos lados com d e marque o outro lado de modo a reproduzir theta num transferidor de compasso.

Passo 5

A reta g que sai de A pelo segundo lado do ângulo theta intersecta p em X e q em Y. Pela construção, o ângulo entre g e as paralelas é varphi=theta e satisfaz
sinvarphi = hL,
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XY = hsinvarphi = L

Resposta

A reta g traçada no passo 5 é a solução: ela passa por A, corta p em X e q em Y e satisfaz XY=L.

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