Exercício 13. Considere dois espaços vetoriais
e
normados, isto é, espaços vetoriais munidos de normas
e
em
e
, respectivamente.
(i) Defina o conceito de diferenciabilidade para uma função da forma
.
(ii) Seja
o conjunto das matrizes de ordem
. Mostre que a aplicação
dada por
é diferenciável (faz diferença a norma escolhida?) e encontre uma expressão para a derivada
.
(iii) Mostre que se
é diferenciável, então
é contínua.
(iv) Discuta a validade de algum resultado análogo à Desigualdade do Valor Médio no contexto deste exercício.
(v) Descreva como o conceito deste exercício é utilizado nas notas de aula ao considerarmos derivadas de ordem maior do que um.
(i) Defina o conceito de diferenciabilidade para uma função da forma
(ii) Seja
(iii) Mostre que se
(iv) Discuta a validade de algum resultado análogo à Desigualdade do Valor Médio no contexto deste exercício.
(v) Descreva como o conceito deste exercício é utilizado nas notas de aula ao considerarmos derivadas de ordem maior do que um.
Passo 1
O enunciado considera dois espaços vetoriais normados
e
com normas
e
, e pede:
(i) definir diferenciabilidade de ;
(ii) mostrar que em
é diferenciável, verificar se a norma importa e achar
;
(iii) provar que diferenciável implica contínua;
(iv) discutir qual versão da Desigualdade do Valor Médio vale;
(v) explicar como isso leva ao conceito de derivadas de ordem maior.
(i) definir diferenciabilidade de
(ii) mostrar que
(iii) provar que diferenciável implica contínua;
(iv) discutir qual versão da Desigualdade do Valor Médio vale;
(v) explicar como isso leva ao conceito de derivadas de ordem maior.
Passo 2
Para (i), usamos a noção de derivada de Fréchet. Dizemos que
é diferenciável em
se existe uma aplicação linear e contínua
tal que
Nesse caso escrevemos
e chamamos
de derivada de
em
.
Passo 3
Para (ii), em
escolhemos qualquer norma submultiplicativa (por exemplo a norma operador), mas em dimensão finita todas as normas são equivalentes, logo a diferenciabilidade não muda. Para ver a expansão colocamos
e
pequeno:
de onde
Definimos então
que é linear em
, e o resto é
com
, provando o termo
. Assim
é diferenciável e
.
Passo 4
Para (iii), se
tem derivada
em cada
, então
e como
quando
, segue
. Logo diferenciável implica contínua.
Passo 5
Em (iv), não há um valor médio escalar exato como em funções de , mas vale a desigualdade
Isso é a versão “valor médio em norma” para mapas entre espaços normados.
Passo 6
Para (v), as derivadas de ordem superior surgem iterando essa definição: a segunda derivada
é a derivada de
e é um mapa bilinear em dois incrementos, e assim por diante. Esse conceito permite escrever fórmulas de Taylor em espaços vetoriais.
Resposta
(i)
é diferenciável em
se existe linear contínuo
tal que
.
(ii) Em ,
é diferenciável em qualquer norma (todas equivalentes) e
(ii) Em
(iii) Diferenciabilidade implica continuidade pois o resto
tende a zero.
(iv) Não há MVT com ponto exato, mas vale
(iv) Não há MVT com ponto exato, mas vale
(v) Derivadas de ordem maior definem-se iterando a derivada de Fréchet, resultando em mapas multilineares usados em expansões de Taylor.