Exercício 13. Considere dois espaços vetoriais V e W normados, isto é, espaços vetoriais munidos de normas |cdot|1 e |cdot|2 em V e W, respectivamente.
(i) Defina o conceito de diferenciabilidade para uma função da forma Phi: V longrightarrow W.
(ii) Seja M(n) o conjunto das matrizes de ordem n times n. Mostre que a aplicação Phi: M(n) longrightarrow M(n) dada por Phi(A)=A^2 é diferenciável (faz diferença a norma escolhida?) e encontre uma expressão para a derivada Phi^prime(A) cdot H.
(iii) Mostre que se Phi é diferenciável, então Phi é contínua.
(iv) Discuta a validade de algum resultado análogo à Desigualdade do Valor Médio no contexto deste exercício.
(v) Descreva como o conceito deste exercício é utilizado nas notas de aula ao considerarmos derivadas de ordem maior do que um.

Passo 1

O enunciado considera dois espaços vetoriais normados V e W com normas |cdot|1 e |cdot|2, e pede:
(i) definir diferenciabilidade de Phicolon Vto W;
(ii) mostrar que Phi(A)=A^2 em M(n) é diferenciável, verificar se a norma importa e achar Phi'(A)cdot H;
(iii) provar que diferenciável implica contínua;
(iv) discutir qual versão da Desigualdade do Valor Médio vale;
(v) explicar como isso leva ao conceito de derivadas de ordem maior.

Passo 2

Para (i), usamos a noção de derivada de Fréchet. Dizemos que Phi é diferenciável em xin V se existe uma aplicação linear e contínua Tcolon Vto W tal que
Phi(x+h)-Phi(x)-T(h)=ol(|h|1r) quando hto0
Nesse caso escrevemos T=Phi'(x) e chamamos T de derivada de Phi em x.

Passo 3

Para (ii), em M(n) escolhemos qualquer norma submultiplicativa (por exemplo a norma operador), mas em dimensão finita todas as normas são equivalentes, logo a diferenciabilidade não muda. Para ver a expansão colocamos Ain M(n) e H pequeno:
Phi(A+H)=(A+H)^2=A^2+AH+HA+H^2,
de onde
Phi(A+H)-Phi(A)=AH+HA+H^2
Definimos então
Phi'(A)cdot H = AH + HA,
que é linear em H, e o resto é
Phi(A+H)-Phi(A)-Phi'(A)cdot H = H^2,
com |H^2|<= C|H|^2, provando o termo o(|H|). Assim Phi é diferenciável e Phi'(A)(H)=AH+HA.

Passo 4

Para (iii), se Phi tem derivada Phi'(x) em cada x, então
Phi(x+h)-Phi(x)=Phi'(x)(h)+o(|h|),
e como Phi'(x)(h)to0 quando hto0, segue Phi(x+h)toPhi(x). Logo diferenciável implica contínua.

Passo 5

Em (iv), não há um valor médio escalar exato como em funções de , mas vale a desigualdade
Isso é a versão “valor médio em norma” para mapas entre espaços normados.

Passo 6

Para (v), as derivadas de ordem superior surgem iterando essa definição: a segunda derivada Phi''(x) é a derivada de Phi'colon Vto L(V,W) e é um mapa bilinear em dois incrementos, e assim por diante. Esse conceito permite escrever fórmulas de Taylor em espaços vetoriais.

Resposta

(i) Phi é diferenciável em x se existe linear contínuo Phi'(x) tal que Phi(x+h)-Phi(x)-Phi'(x)(h)=o(|h|).
(ii) Em M(n), Phi(A)=A^2 é diferenciável em qualquer norma (todas equivalentes) e
Phi'(A)cdot H = AH + HA
(iii) Diferenciabilidade implica continuidade pois o resto o(|h|) tende a zero.
(iv) Não há MVT com ponto exato, mas vale
|Phi(x)-Phi(y)|<= suptin[0,1]|Phi'(y+t(x-y))|;|x-y|
(v) Derivadas de ordem maior definem-se iterando a derivada de Fréchet, resultando em mapas multilineares usados em expansões de Taylor.

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