Exercício 7.21 Determine a integral \iint_{S} g(x, y, z) d A no paraboloide S definido assim: S :
(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} / z=f(x, y)=1+x^{2}+y^{2}, 0 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4, g(x, y, z)=\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede a integral de superfície
\iint_{S}g(x,y,z)\,dA
sobre o paraboloide
S:\;z=f(x,y)=1+x^2+y^2,\quad 0\le x^2+y^2\le4
com
g(x,y,z)=\sqrt{1+x^2+y^2}\,.
O conteúdo aqui é integral de superfície de função escalar:
\iint_{S}g\,dA =\iint_{D}g(x,y,f(x,y))\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\;dA_{xy},
onde D é o disco x^2+y^2\le4.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=1+x^2+y^2:
f_x=2x,\quad f_y=2y
e, portanto,
\sqrt{1+f_x^2+f_y^2} =\sqrt{1+4x^2+4y^2} =\sqrt{1+4(x^2+y^2)}.
No integrando, g(x,y,f(x,y))=\sqrt{1+x^2+y^2}.

Passo 3

Passamos a coordenadas polares:
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad 0\le r\le2,\;0\le\theta\le2\pi.
Então
g=\sqrt{1+r^2},\quad \sqrt{1+4(x^2+y^2)}=\sqrt{1+4r^2},
e dA_{xy}=r\,dr\,d\theta. A integral torna-se
\iint_{S}g\,dA =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{2} \sqrt{1+r^2}\,\sqrt{1+4r^2}\;r\,dr\,d\theta =2\pi\int_{0}^{2}r\sqrt{1+r^2}\sqrt{1+4r^2}\,dr.

Passo 4

Fazemos a substituição u=r^2, logo du=2r\,dr e r\,dr=\tfrac12du. Assim
2\pi\int_{0}^{2}r\sqrt{1+r^2}\sqrt{1+4r^2}\,dr =\pi\int_{0}^{4}\sqrt{(1+u)(1+4u)}\,du.
Notamos que
(1+u)(1+4u)=4u^2+5u+1 =4\bigl(u+\tfrac14\bigr)\bigl(u+1\bigr),
logo
\sqrt{(1+u)(1+4u)}=2\sqrt{\bigl(u+\tfrac14\bigr)\bigl(u+1\bigr)}.
A integral reduz-se a
I=\pi\int_{0}^{4}2\sqrt{\bigl(u+\tfrac14\bigr)\bigl(u+1\bigr)}\,du =2\pi\int_{0}^{4}\sqrt{(u+\tfrac14)(u+1)}\,du.

Passo 5

Usamos a fórmula padrão
\int\sqrt{(u+a)(u+b)}\,du =\frac{2u+a+b}{4}\sqrt{(u+a)(u+b)} -\frac{(b-a)^2}{8}\ln\bigl|2u+a+b+2\sqrt{(u+a)(u+b)}\bigr|+C.
Aqui a=\tfrac14, b=1, b-a=\tfrac34. Avaliamos de u=0 a u=4. Após substituir e simplificar, chega-se a
\int_{0}^{4}\sqrt{(u+\tfrac14)(u+1)}\,du =\frac{37\sqrt{85}-5}{32} -\frac{9}{128}\ln\!\Bigl(\frac{37+4\sqrt{85}}{9}\Bigr).

Passo 6

Portanto
\iint_{S}g\,dA =2\pi\Biggl[\frac{37\sqrt{85}-5}{32} -\frac{9}{128}\ln\!\Bigl(\frac{37+4\sqrt{85}}{9}\Bigr)\Biggr] =\frac{\pi\,(37\sqrt{85}-5)}{16} -\frac{9\pi}{64}\ln\!\Bigl(\frac{37+4\sqrt{85}}{9}\Bigr).

Resposta

\displaystyle \iint_{S}g(x,y,z)\,dA =\frac{\pi\,(37\sqrt{85}-5)}{16} -\frac{9\pi}{64}\ln\!\Bigl(\frac{37+4\sqrt{85}}{9}\Bigr).

Exercícios relacionados