Exercício 7.23 Considere a seguintes funções vetoriais Em cada caso determinar a área da superfície paramétrica que elas representam.
(Helicóide)
\varphi(\theta, t)=(t \cos \theta, t \operatorname{sen} \theta, 2 \theta)
Sendo D=[0,2 \pi] \times[-5,5] o dominio da função \varphi.

Passo 1

O enunciado dá a parametrização da helicoide
\varphi(\theta,t) = (\,t\cos\theta,\;t\operatorname{sen}\theta,\;2\theta\,)
sobre o domínio D = [0,2\pi]\times[-5,5], e pede a área da superfície.
Para isso vamos usar a fórmula da área de superfície paramétrica:
\mathcal A = \iint_{D} \bigl\|\varphi_\theta \times \varphi_t\bigr\|\;d\theta\,dt.

Passo 2

Calculamos os vetores tangentes:
\varphi_\theta = \Bigl(-t\operatorname{sen}\theta,\;t\cos\theta,\;2\Bigr), \quad \varphi_t = \bigl(\cos\theta,\;\operatorname{sen}\theta,\;0\bigr).
Então o produto vetorial é
\varphi_\theta \times \varphi_t = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ -t\operatorname{sen}\theta & t\cos\theta & 2\\\ \cos\theta & \operatorname{sen}\theta & 0 \end{vmatrix} = \bigl(-2\operatorname{sen}\theta,\;2\cos\theta,\;-t\bigr).

Passo 3

O módulo desse vetor é
\bigl\|\varphi_\theta \times \varphi_t\bigr\| = \sqrt{(-2\operatorname{sen}\theta)^2 + (2\cos\theta)^2 + (-t)^2} = \sqrt{4\bigl(\operatorname{sen}^2\theta+\cos^2\theta\bigr) + t^2} = \sqrt{4 + t^2}.

Passo 4

A área fica então
\mathcal A = \iint_{D} \sqrt{4 + t^2}\;d\theta\,dt = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{-5}^{5}\sqrt{t^2+4}\;dt\,d\theta.

Passo 5

Como o integrando não depende de \theta e é par em t, temos
\mathcal A = 2\pi \int_{-5}^{5}\sqrt{t^2+4}\;dt = 4\pi \int_{0}^{5}\sqrt{t^2+4}\;dt.

Passo 6

Usamos a primitiva conhecida
\int \sqrt{t^2+a^2}\,dt =\tfrac12\Bigl(t\sqrt{t^2+a^2}+a^2\ln\bigl(t+\sqrt{t^2+a^2}\bigr)\Bigr).
Aqui a=2, logo
\int_{0}^{5}\sqrt{t^2+4}\,dt =\frac12\Bigl(5\sqrt{29}+4\ln\bigl(5+\sqrt{29}\bigr)\Bigr) -\frac12\bigl(0+4\ln2\bigr).

Passo 7

Simplificando,
\int_{0}^{5}\sqrt{t^2+4}\,dt =\frac12\Bigl(5\sqrt{29}+4\ln\frac{5+\sqrt{29}}{2}\Bigr).
Multiplicando por 4\pi
\mathcal A =4\pi\cdot\frac12\Bigl(5\sqrt{29}+4\ln\frac{5+\sqrt{29}}{2}\Bigr) =2\pi\Bigl(5\sqrt{29}+4\ln\frac{5+\sqrt{29}}{2}\Bigr).

Resposta

\boxed{\mathcal A = 2\pi\Bigl(5\sqrt{29}+4\ln\frac{5+\sqrt{29}}{2}\Bigr).}

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