Exercício 7.23 Considere a seguintes funções vetoriais Em cada caso determinar a área da superfície paramétrica que elas representam.
(Catenoide)
\varphi(\theta, t)=(-\operatorname{cosh} t \sin \theta, \operatorname{cosh} t \cos \theta, 2 t)
Sendo D=[0,2 \pi] \times[-2,2] o dominio da função \varphi.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície dada pela parametrização
\varphi(\theta,t)=\bigl(-\operatorname{cosh} t\,\sin\theta,\;\operatorname{cosh} t\,\cos\theta,\;2t\bigr)
com \theta\in[0,2\pi] e t\in[-2,2].
O conteúdo é “área de superfície paramétrica” e vamos usar a fórmula
A=\iint_{D}\bigl\lVert\varphi_\theta\times\varphi_t\bigr\rVert\,d\theta\,dt.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\varphi_\theta =\bigl(-\operatorname{cosh} t\cos\theta,\;-\,\operatorname{cosh} t\sin\theta,\;0\bigr), \quad \varphi_t =\bigl(-\operatorname{sinh} t\,\sin\theta,\;\operatorname{sinh} t\,\cos\theta,\;2\bigr).

Passo 3

Fazendo o produto vetorial e extraindo a norma, chega-se a
\bigl\lVert\varphi_\theta\times\varphi_t\bigr\rVert =\operatorname{cosh} t\,\sqrt{4+\operatorname{sinh}^2 t}.

Passo 4

Portanto a área é
A =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{-2}^{2}\operatorname{cosh} t\,\sqrt{4+\operatorname{sinh}^2 t}\;dt\,d\theta =2\pi\int_{-2}^{2}\operatorname{cosh} t\,\sqrt{4+\operatorname{sinh}^2 t}\;dt.

Passo 5

Use a substituição
u=\operatorname{sinh} t,\quad du=\operatorname{cosh} t\,dt,
com u(-2)=-\sinh2 e u(2)=\sinh2. Assim
\int_{-2}^{2}\operatorname{cosh} t\,\sqrt{4+\operatorname{sinh}^2 t}\,dt =\int_{-\sinh2}^{\sinh2}\sqrt{4+u^2}\,du =2\int_{0}^{\sinh2}\sqrt{4+u^2}\,du.

Passo 6

Recordando
\int\sqrt{a^2+u^2}\,du =\tfrac12\Bigl(u\sqrt{a^2+u^2}+a^2\ln\bigl(u+\sqrt{a^2+u^2}\bigr)\Bigr),
para a=2 obtemos
\int_{0}^{\sinh2}\!\sqrt{4+u^2}\,du =\tfrac12\Bigl[\;u\sqrt{4+u^2}+4\ln\bigl(u+\sqrt{4+u^2}\bigr)\Bigr]_{0}^{\sinh2}.

Resposta

Substituindo na expressão de A=2\pi\cdot2\int_{0}^{\sinh2}\sqrt{4+u^2}\,du vem
\boxed{ A =2\pi\Bigl[\sinh2\,\sqrt{4+\operatorname{sinh}^2 2} +4\ln\!\bigl(\sinh2+\sqrt{4+\operatorname{sinh}^2 2}\bigr) -4\ln(2)\Bigr]. }

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