Exercício 21. Um estudante preenche por adivinhação um exame de múltipla escolha com 5 respostas possíveis (das quais uma é correta) para cada uma de 10 questões
(a) Qual a distribuição do número de respostas certas?.
(b) Qual a probabilidade de que o estudante obtenha 9 ou mais respostas certas?
© Qual a probabilidade de que ele acerte pelo menos duas questões?

Passo 1

Beleza, o que o enunciado tá pedindo é: um estudante chuta as respostas de um teste de múltipla escolha com 10 questões, cada questão tem 5 alternativas (só 1 é certa). A gente vai usar a teoria de probabilidade – mais especificamente a distribuição binomial – pra resolver. Vamos precisar entender ensaios de Bernoulli (sucesso = “acertar” com probabilidade ) e como soma-los pra achar a probabilidade de vários acertos.

Passo 2

Cada questão é um ensaio de Bernoulli independente, com probabilidade de sucesso
p = tfrac15 = 0,2
e fracasso Xsim Binomial(n=10,;p=0,2). Se P(X=k)=binom10k,p^k,q^10-k é o número total de acertos em 10 questões, então
ou seja
para .

Passo 3

(b) Queremos P(X>=9)=P(X=9)+P(X=10) . Isso é
P(X=9)=binom109(0,2)^9(0,8)^1 =10cdot0,2^9cdot0,8,
Calculando cada termo:
P(X=10)=binom1010(0,2)^10(0,8)^0 =1cdot0,2^10
P(X>=9) =10cdot0,2^9cdot0,8 ;+;0,2^10 approx 4,10times10^-6
BastA somar numericamente:

Passo 4

© Agora P(X>=2) = 1 - l[P(X=0)+P(X=1)r] . O “truque” é usar o complementar:
P(X=0)=binom1000,2^0,0,8^10=0,8^10,
Calculando:
P(X=1)=binom1010,2^1,0,8^9 =10cdot0,2cdot0,8^9
P(X>=2) =1 - l(0,8^10 + 10cdot0,2cdot0,8^9r) approx 0,6242
Somando e subtraindo de 1 dá

Resposta

a)
b)
c)

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