Exercício 2.21. Mostre que podemos calcular o volume de um corpo sólido por meio de uma integral de superfície.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, dado um corpo sólido V\subset\mathbb{R}^3 com fronteira suave S, seu volume pode ser obtido por uma integral apenas sobre a superfície S. O conteúdo principal que vamos usar é o Teorema da Divergência (ou de Gauss), que relaciona integrais de volume a integrais de superfície.

Passo 2

O Teorema da Divergência diz que, para um campo vetorial \mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3) suficientemente suave em V\cup S e com \mathbf{n} a normal unitária externa a S,
\int_{V}\bigl(\nabla\cdot \mathbf{F}\bigr)\,dV = \int_{S}\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\,dS.

Passo 3

Escolhemos o campo \mathbf{F}_1(x,y,z)=(x,0,0). Calculamos sua divergência:
\nabla\cdot \mathbf{F}_1 =\frac{\partial}{\partial x}(x)+\frac{\partial}{\partial y}(0)+\frac{\partial}{\partial z}(0) =1.
Aplicando o Teorema da Divergência:
\int_{V}1\,dV = \int_{S}\mathbf{F}_1\cdot \mathbf{n}\,dS = \int_{S}x\,n_x\,dS,
onde n_x é a componente x de \mathbf{n}. Logo
\int_{V}dV = \int_{S}x\,n_x\,dS.

Passo 4

De forma análoga, escolhemos
\mathbf{F}_2=(0,y,0) e \mathbf{F}_3=(0,0,z). Cada um tem divergência igual a 1, então
\int_{V}dV = \int_{S}y\,n_y\,dS \quad\text{e}\quad \int_{V}dV = \int_{S}z\,n_z\,dS.

Passo 5

Somando as três igualdades obtemos
3\int_{V}dV = \int_{S}\bigl(x\,n_x + y\,n_y + z\,n_z\bigr)\,dS.
Como \displaystyle\int_{V}dV é o volume de V, chamando-o de V, temos
3V = \int_{S}(x n_x + y n_y + z n_z)\,dS.
Reconhecendo que (x,y,z)\cdot\mathbf{n}=x n_x+y n_y+z n_z, concluímos que
V = \frac{1}{3} \int_{S} \bigl(\mathbf{r}\cdot \mathbf{n}\bigr) \,dS,
onde \mathbf{r}=(x,y,z).

Resposta

V = \frac{1}{3} \int_{S} \bigl(\mathbf{r}\cdot \mathbf{n}\bigr) \,dS.

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