Exercício 2.21. Mostre que podemos calcular o volume de um corpo sólido por meio de uma integral de superfície.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, dado um corpo sólido
com fronteira suave
, seu volume pode ser obtido por uma integral apenas sobre a superfície
. O conteúdo principal que vamos usar é o Teorema da Divergência (ou de Gauss), que relaciona integrais de volume a integrais de superfície.
Passo 2
O Teorema da Divergência diz que, para um campo vetorial
suficientemente suave em
e com
a normal unitária externa a
,
Passo 3
Escolhemos o campo
. Calculamos sua divergência:
Aplicando o Teorema da Divergência:
onde
é a componente
de
. Logo
Passo 4
De forma análoga, escolhemos
e
. Cada um tem divergência igual a
, então
Passo 5
Somando as três igualdades obtemos
Como
é o volume de
, chamando-o de
, temos
Reconhecendo que
, concluímos que
onde
.