Exercício 2.19. Sejam
e
a superfície
.
(a) Parametrize a curva fronteira de
.
(b) Calcule o fluxo do rotacional de
através da superfície
, em relação ao campo normal que aponta para fora.
(a) Parametrize a curva fronteira de
(b) Calcule o fluxo do rotacional de
Passo 1
O enunciado define o campo vetorial
e a superfície dada por
e a superfície
Pede-se (a) a parametrização da curva fronteira
e (b) o fluxo de
através de
com o normal que aponta para fora do volume sob a parábola. Para (b) vamos usar o Teorema de Stokes, que diz
Passo 2
A curva fronteira
resulta da interseção de
com
, ou seja
Uma parametrização natural é
Passo 3
Precisamos escolher a orientação de
compatível com o normal de
que aponta para fora do volume interno (o “sólido” sob a parábola). Esse normal tem componente
, portanto, visto de cima, a curva deve ser percorrida no sentido anti-horário. A parametrização acima (
) já é exatamente o sentido anti-horário.
Passo 4
Pelo Teorema de Stokes temos
Logo basta calcular
.
Passo 5
Em
temos
, então
e
O produto escalar é
Passo 6
Portanto
Resposta
O fluxo de
através de
é
.