Exercício 2.19. Sejam \vec{F}(x, y, z)=\left(-y, x, \operatorname{sen}\left(x^{7} y^{8} z^{9}\right)\right) e S a superfície z=9-x^{2}-y^{2}, z \geq 0.
(a) Parametrize a curva fronteira de S.
(b) Calcule o fluxo do rotacional de \vec{F} através da superfície S, em relação ao campo normal que aponta para fora.

Passo 1

O enunciado define o campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=(-y,\;x,\;\sin(x^7y^8z^9))
e a superfície S dada por
z = 9 - x^2 - y^2,\quad z\ge0.
Pede-se (a) a parametrização da curva fronteira \partial S e (b) o fluxo de \nabla\times\vec{F} através de S com o normal que aponta para fora do volume sob a parábola. Para (b) vamos usar o Teorema de Stokes, que diz
\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS =\oint_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec{r}.

Passo 2

A curva fronteira \partial S resulta da interseção de z=9-x^2-y^2 com z=0, ou seja
x^2+y^2=9,\quad z=0.
Uma parametrização natural é
\vec r(t)=\bigl(3\cos t,\;3\sin t,\;0\bigr),\quad 0\le t\le2\pi.

Passo 3

Precisamos escolher a orientação de \partial S compatível com o normal de S que aponta para fora do volume interno (o “sólido” sob a parábola). Esse normal tem componente +\!z, portanto, visto de cima, a curva deve ser percorrida no sentido anti-horário. A parametrização acima ( t\uparrow) já é exatamente o sentido anti-horário.

Passo 4

Pelo Teorema de Stokes temos
\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS =\oint_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Logo basta calcular \displaystyle\oint_{0}^{2\pi}\vec F\bigl(\vec r(t)\bigr)\cdot\vec r\,'(t)\,dt.

Passo 5

Em \partial S temos z=0, então
\vec F\bigl(\vec r(t)\bigr) =\bigl(-3\sin t,\;3\cos t,\;\sin(0)\bigr) =(-3\sin t,\;3\cos t,\;0),
e
\vec r\,'(t)=(-3\sin t,\;3\cos t,\;0).
O produto escalar é
\vec F\cdot\vec r\,' = (-3\sin t)(-3\sin t)+(3\cos t)(3\cos t) =9\sin^2t+9\cos^2t=9.

Passo 6

Portanto
\oint_{\partial S}\vec F\cdot d\vec r =\int_{0}^{2\pi}9\,dt =9\cdot2\pi =18\pi.

Resposta

O fluxo de \nabla\times\vec F através de S é 18\pi.

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