Exercício 2.22. Considere o campo vetorial
(a) Calcule a divergência do campo
.
(b) Calcule o fluxo do campo através da superfície esférica
.
(c) Calcule o fluxo do campo através de uma superfície esférica de raio
e centrada no ponto (
). Faça o mesmo para
. Em ambos os casos, justifique.
(b) Calcule o fluxo do campo através da superfície esférica
(c) Calcule o fluxo do campo através de uma superfície esférica de raio
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
onde
. Precisamos:
– (a) calcular ,
– (b) o fluxo de pela esfera
,
– (c) o fluxo pela esfera de raio centrada em
, para
e
.
Usaremos cálculo de divergência e o Teorema da Divergência (Gauss).
– (a) calcular
– (b) o fluxo de
– (c) o fluxo pela esfera de raio
Usaremos cálculo de divergência e o Teorema da Divergência (Gauss).
Passo 2
Vamos calcular
para
. Escreva
com
e
.
Então
Então
Observe que
.
Também
Também
Logo
Passo 3
Para a esfera centrada na origem de raio
, a normal unitária é
. Então
pois o numerador anula-se. Logo o fluxo
Passo 4
Agora a esfera de centro
e raio
.
- Se
, o domínio interior não contém a singularidade em . Como ali, o Teorema da Divergência dá fluxo zero. - Se
, a singularidade fica dentro, mas não tem “carga monopolar” (já vimos que o fluxo por qualquer esfera centrada na origem é zero). Isso implica que mesmo envolvendo o ponto singular o fluxo total continua zero.
Resposta
(a)
para todo
.
(b) Fluxo pela esfera de raio :
.
(c) Fluxo pela esfera de raio centrada em
:
para
e
para
.
(b) Fluxo pela esfera de raio
(c) Fluxo pela esfera de raio