Exercício 2.22. Considere o campo vetorial
\vec{E}(x, y, z)=\left(\frac{z-y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}, \frac{x-z}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}, \frac{y-x}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right) .
(a) Calcule a divergência do campo \vec{E}.
(b) Calcule o fluxo do campo através da superfície esférica x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}.
(c) Calcule o fluxo do campo através de uma superfície esférica de raio b<1 e centrada no ponto ( 1,0,0 ). Faça o mesmo para b>1. Em ambos os casos, justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\vec{E}(x,y,z)=\bigl((z-y)/r^{3},\;(x-z)/r^{3},\;(y-x)/r^{3}\bigr),
onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. Precisamos:
– (a) calcular \nabla\cdot\vec{E},
– (b) o fluxo de \vec{E} pela esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2},
– (c) o fluxo pela esfera de raio b centrada em (1,0,0), para b<1 e b>1.
Usaremos cálculo de divergência e o Teorema da Divergência (Gauss).

Passo 2

Vamos calcular \nabla\cdot\vec{E} para (x,y,z)\neq(0,0,0). Escreva
\vec{E}=\varphi\,\vec{N} com \varphi=r^{-3} e \vec{N}=(z-y,\;x-z,\;y-x).
Então
\nabla\cdot\vec{E} =\nabla\varphi\cdot\vec{N}+\varphi\,(\nabla\cdot\vec{N})
Observe que \nabla\cdot\vec{N}=\partial_{x}(z-y)+\partial_{y}(x-z)+\partial_{z}(y-x)=0.
Também
\nabla\varphi =-3\,r^{-5}(x,y,z).
Logo
\nabla\cdot\vec{E} =-3\,r^{-5}\bigl[x(z-y)+y(x-z)+z(y-x)\bigr]=0.

Passo 3

Para a esfera centrada na origem de raio a, a normal unitária é
\hat{n}=(x,y,z)/a. Então
\vec{E}\cdot\hat{n} =\frac{1}{r^{3}}\bigl((z-y)x+(x-z)y+(y-x)z\bigr)\frac{1}{a} =0,
pois o numerador anula-se. Logo o fluxo
\iint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{S} =\iint_{S}\vec{E}\cdot\hat{n}\,dS=0.

Passo 4

Agora a esfera de centro (1,0,0) e raio b.
  • Se b<1, o domínio interior não contém a singularidade em (0,0,0). Como \nabla\cdot\vec{E}=0 ali, o Teorema da Divergência dá fluxo zero.
  • Se b>1, a singularidade fica dentro, mas \vec{E} não tem “carga monopolar” (já vimos que o fluxo por qualquer esfera centrada na origem é zero). Isso implica que mesmo envolvendo o ponto singular o fluxo total continua zero.

Resposta

(a) \nabla\cdot\vec{E}=0 para todo (x,y,z)\neq(0,0,0).
(b) Fluxo pela esfera de raio a: 0.
(c) Fluxo pela esfera de raio b centrada em (1,0,0): 0 para b<1 e 0 para b>1.

Exercícios relacionados