Exercício 2.20. Seja
e seja
a parte da superfície esférica
que está abaixo do plano
, orientada de modo que o vetor normal unitário em
seja
.
(a) Obtenha uma parametrização para a fronteira
de
. Qual é a orientação de
que é compatível com a de
?
(b) Use o Teorema de Stokes para calcular
.
(a) Obtenha uma parametrização para a fronteira
(b) Use o Teorema de Stokes para calcular
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e a superfície
é a parte da esfera
abaixo do plano
, orientada de modo que o vetor normal unitário em
seja
.
Pede-se (a) parametrizar a fronteira de
e indicar sua orientação compatível com
; (b) usar o Teorema de Stokes para calcular
Pede-se (a) parametrizar a fronteira
Passo 2
A curva
é a interseção da esfera com o plano
. Substituindo em
obtemos
que é um círculo de raio
em
.
Passo 3
Para achar a orientação de
compatível com
, aplicamos a regra da mão direita: o polegar aponta na direção do normal de
e os dedos enrolam na direção de
.
Como em o normal escolhido é
, ou seja, apontando para cima, a curva deve ser percorrida no sentido horário quando vista de cima (do eixo
positivo).
Uma parametrização adequada é
Como em
Uma parametrização adequada é
pois, para
aumentando,
gira no sentido horário.
Passo 4
O Teorema de Stokes diz
Primeiro calculamos o rotacional:
Embora possamos usar o rotacional para o fluxo, aqui vamos direto ao integral de linha.
Passo 5
Na parametrização
temos
e
O produto escalar é
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