Exercício 2.20. Seja \vec{F}(x, y, z)=(-y, x, x y z) e seja S a parte da superfície esférica x^{2}+y^{2}+z^{2}=25 que está abaixo do plano z=4, orientada de modo que o vetor normal unitário em (0,0,-5) seja (0,0,1).
(a) Obtenha uma parametrização para a fronteira C de S. Qual é a orientação de C que é compatível com a de S ?
(b) Use o Teorema de Stokes para calcular \iint_{S} \operatorname{rot} \vec{F} \cdot d \vec{S}.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=(-y,\;x,\;xyz)
e a superfície S é a parte da esfera x^2+y^2+z^2=25 abaixo do plano z=4, orientada de modo que o vetor normal unitário em (0,0,-5) seja (0,0,1).
Pede-se (a) parametrizar a fronteira C de S e indicar sua orientação compatível com S; (b) usar o Teorema de Stokes para calcular
\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec{S}.

Passo 2

A curva C é a interseção da esfera com o plano z=4. Substituindo em x^2+y^2+z^2=25 obtemos
x^2+y^2+4^2=25 \quad\Longrightarrow\quad x^2+y^2=9,
que é um círculo de raio 3 em z=4.

Passo 3

Para achar a orientação de C compatível com S, aplicamos a regra da mão direita: o polegar aponta na direção do normal de S e os dedos enrolam na direção de C.
Como em (0,0,-5) o normal escolhido é (0,0,1), ou seja, apontando para cima, a curva deve ser percorrida no sentido horário quando vista de cima (do eixo z positivo).
Uma parametrização adequada é
\vec r(t) = \bigl(3\cos t,\;-3\sin t,\;4\bigr),\quad 0\le t\le 2\pi,
pois, para t aumentando, (x,y) gira no sentido horário.

Passo 4

O Teorema de Stokes diz
\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec{S} =\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec r.
Primeiro calculamos o rotacional:
\nabla\times\vec{F} =\Bigl(\frac{\partial}{\partial y}(xyz)-\frac{\partial}{\partial z}(x),\; \frac{\partial}{\partial z}(-y)-\frac{\partial}{\partial x}(xyz),\; \frac{\partial}{\partial x}(x)-\frac{\partial}{\partial y}(-y)\Bigr) =(xz,\;-yz,\;2).
Embora possamos usar o rotacional para o fluxo, aqui vamos direto ao integral de linha.

Passo 5

Na parametrização \vec r(t) temos
d\vec r =\bigl(-3\sin t,\;-3\cos t,\;0\bigr)\,dt,
e
\vec F\bigl(\vec r(t)\bigr) =\bigl(-y,\;x,\;xyz\bigr) =\bigl(3\sin t,\;3\cos t,\;-36\cos t\sin t\bigr).
O produto escalar é
\vec F\cdot d\vec r =\bigl(3\sin t\bigr)(-3\sin t) +\bigl(3\cos t\bigr)(-3\cos t) +(-36\cos t\sin t)\cdot0 =-9(\sin^2t+\cos^2t) =-9.
Logo
\oint_C\vec F\cdot d\vec r =\int_{0}^{2\pi}(-9)\,dt =-18\pi.

Resposta

\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec{S} =-18\pi.

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