Exercício 1.5.21. De quantas formas pode-se distribuir 20 laranjas entre 4 crianças?

Passo 1

O enunciado pede de quantas formas podemos distribuir 20 laranjas idênticas entre 4 crianças distintas.
Conteúdo: princípio de contagem em combinatória, modelo de “barras e estrelas” (ou “stars and bars”).
Para resolver, vamos traduzir a distribuição numa equação diofantina e usar a fórmula de combinações com repetição.

Passo 2

Seja xi o número de laranjas que a i-ésima criança recebe. Como as laranjas são idênticas e cada criança pode receber de 0 a 20 laranjas, temos a equação
x1 + x2 + x3 + x4 = 20,
com xi >= 0 inteiro. O número de soluções não negativas dessa equação, em que a ordem importa (crianças distintas), é dado pela combinação com repetição
binomn + k - 1k - 1,
onde n=20 (laranjas) e k=4 (crianças).

Passo 3

Aplicando a fórmula de combinações com repetição:
binom20 + 4 - 14 - 1 = binom233

Passo 4

Calculando o valor de binom233:
binom233 = 23 cdot 22 cdot 213 cdot 2 cdot 1 = 1771

Resposta

1771 maneiras.

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