Exercício 1.5.21. De quantas formas pode-se distribuir 20 laranjas entre 4 crianças?
Passo 1
O enunciado pede de quantas formas podemos distribuir
laranjas idênticas entre
crianças distintas.
Conteúdo: princípio de contagem em combinatória, modelo de “barras e estrelas” (ou “stars and bars”).
Para resolver, vamos traduzir a distribuição numa equação diofantina e usar a fórmula de combinações com repetição.
Conteúdo: princípio de contagem em combinatória, modelo de “barras e estrelas” (ou “stars and bars”).
Para resolver, vamos traduzir a distribuição numa equação diofantina e usar a fórmula de combinações com repetição.
Passo 2
Seja
o número de laranjas que a
-ésima criança recebe. Como as laranjas são idênticas e cada criança pode receber de
a
laranjas, temos a equação
com
inteiro. O número de soluções não negativas dessa equação, em que a ordem importa (crianças distintas), é dado pela combinação com repetição
onde
(laranjas) e
(crianças).
Passo 3
Aplicando a fórmula de combinações com repetição:
Passo 4
Calculando o valor de
: