Exercício 1.5.22. De quantas formas pode-se distribuir 20 laranjas entre 4 crianças de modo que cada criança receba pelo menos uma laranja?

Passo 1

O enunciado pede o número de formas de distribuir 20 laranjas entre 4 crianças, de modo que cada criança receba pelo menos uma laranja. O conteúdo é contagem de soluções inteiras positivas de uma equação, usando o princípio das estrelas e barras.

Passo 2

Definimos xi como o número de laranjas recebidas pela i-ésima criança. Assim, queremos o número de soluções inteiras de
x1 + x2 + x3 + x4 = 20, xi >= 1 para i=1,2,3,4

Passo 3

Para transformar em variáveis não negativas, fazemos yi = xi - 1. Então cada yi >= 0 e
y1 + y2 + y3 + y4 = 20 - 4 = 16

Passo 4

Pelo princípio das estrelas e barras, o número de soluções não negativas de
y1 + y2 + y3 + y4 = 16
é
binom16 + 4 - 14 - 1 = binom193

Passo 5

Calculando a combinação:
binom193 = 19 cdot 18 cdot 173 cdot 2 cdot 1 = 969

Resposta

969

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