Exercício 1.5.23. De quantas formas pode-se distribuir 20 laranjas entre 4 crianças de modo que cada criança receba pelo menos duas laranjas?
Passo 1
O enunciado pede o número de modos de distribuir
laranjas idênticas entre
crianças distintas, de forma que cada criança receba pelo menos
laranjas.
Conteúdo: vamos usar o método de “estrelas e barras” (stars and bars) para contar soluções inteiras não negativas de uma soma, após impor a condição mínima.
Conteúdo: vamos usar o método de “estrelas e barras” (stars and bars) para contar soluções inteiras não negativas de uma soma, após impor a condição mínima.
Passo 2
Denotemos por
o número de laranjas que a criança
recebe. Temos
com a restrição
. Para eliminar a condição de mínimo, fazemos a mudança de variáveis
o que garante
. Substituindo na soma:
Passo 3
Agora contamos o número de soluções inteiras não negativas de
que é dado por “
estrelas e barras
” como