Exercício 1.5.23. De quantas formas pode-se distribuir 20 laranjas entre 4 crianças de modo que cada criança receba pelo menos duas laranjas?

Passo 1

O enunciado pede o número de modos de distribuir 20 laranjas idênticas entre 4 crianças distintas, de forma que cada criança receba pelo menos 2 laranjas.
Conteúdo: vamos usar o método de “estrelas e barras” (stars and bars) para contar soluções inteiras não negativas de uma soma, após impor a condição mínima.

Passo 2

Denotemos por xi o número de laranjas que a criança i recebe. Temos
x1 + x2 + x3 + x4 = 20,
com a restrição ,xi >= 2. Para eliminar a condição de mínimo, fazemos a mudança de variáveis
yi = xi - 2,
o que garante yi >= 0. Substituindo na soma:
(y1+2) + (y2+2) + (y3+2) + (y4+2) = 20 Longrightarrow y1 + y2 + y3 + y4 = 20 - 8 = 12

Passo 3

Agora contamos o número de soluções inteiras não negativas de
y1 + y2 + y3 + y4 = 12,
que é dado por “ estrelas e barras ” como
binom12 + 4 - 14 - 1 = binom153

Resposta

binom153 = 455.

Exercícios relacionados