Exercício 21. Seja
Explique por que este exemplo mostra que não basta ser (f] diferenciável no Teorema da Função Inversa.

Passo 1

O enunciado lembra o Teorema da Função Inversa: para
que é diferenciável em toda parte mas cuja derivada não é contínua em , não é localmente invertível em .

Passo 2

Calcular f'(0) pela definição:
f'(0)=limxto0f(x)-f(0)x =limxto0tfrac x2 + x^2sen(1/x)x =limxto0l(tfrac12 + xsen(1/x)r) =tfrac12

Passo 3

Para xneq0, usamos derivação normal:
f(x)= x2 + x^2senl(tfrac1xr),
então
f'(x) =12 + 2xsenl(tfrac1xr) + x^2cosl(tfrac1xr)cdotl(-tfrac1x^2r) =12 + 2xsenl(tfrac1xr)-cosl(tfrac1xr)

Passo 4

Mostramos que f'(x) muda de sinal arbitrariamente perto de zero. Tome
xn = 1npi,
então sen(1/xn)=0 e cos(1/xn)=(-1)^n. Logo
f'(xn) =12 + 2xncdot0 -(-1)^n =12-(-1)^n
Para n par ocorre f'(xn)=-tfrac12<0 e para n ímpar f'(xn)=tfrac32>0.

Passo 5

Como a derivada assume valores positivos e negativos arbitrariamente perto de zero, f não é monotona em nenhum intervalo que contenha 0. Sem monotonia não há injetividade local, logo não existe inversa de f num entorno de 0.

Passo 6

Concluímos que, embora f seja diferenciável em 0 com f'(0)=tfrac12neq0, a falta de continuidade de f' em 0 impede a inversibilidade local. Isso mostra que, no Teorema da Função Inversa, não basta apenas ter f'(a)neq0: é essencial que f seja pelo menos C^1 (derivada contínua) numa vizinhança de a.

Resposta

Este exemplo mostra que, sem a hipótese de continuidade de f', a condição f'(a)neq0 não garante injetividade nem existência de inversa local.

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