Exercício 21. Seja
Explique por que este exemplo mostra que não basta ser (f] diferenciável no Teorema da Função Inversa.
Passo 1
O enunciado lembra o Teorema da Função Inversa: para
que é diferenciável em toda parte mas cuja derivada não é contínua em ,
não é localmente invertível em
.
Passo 2
Calcular
pela definição:
Passo 3
Para
, usamos derivação normal:
então
Passo 4
Mostramos que
muda de sinal arbitrariamente perto de zero. Tome
então
e
. Logo
Para
par ocorre
e para
ímpar
.
Passo 5
Como a derivada assume valores positivos e negativos arbitrariamente perto de zero,
não é monotona em nenhum intervalo que contenha
. Sem monotonia não há injetividade local, logo não existe inversa de
num entorno de
.
Passo 6
Concluímos que, embora
seja diferenciável em
com
, a falta de continuidade de
em
impede a inversibilidade local. Isso mostra que, no Teorema da Função Inversa, não basta apenas ter
: é essencial que
seja pelo menos
(derivada contínua) numa vizinhança de
.
Resposta
Este exemplo mostra que, sem a hipótese de continuidade de
, a condição
não garante injetividade nem existência de inversa local.