Um material radioativo obedece uma lei de decaimento exponencial com tempo de meia vida de 5 anos. Assim, se
corresponde ao tempo de decaimento de um átomo, então
tem uma distribuição exponencial tal que
.
(1,5 ponto) a) Calcule a probabilidade de que o átomo se desintegre num intervalo
(em mais do que 10 anos). Calcule também a probabilidade de que o átomo se desintegre num intervalo
(entre 5 e 10 anos).
(1 ponto) b) Qual é a probabilidade que o átomo se desintegre em até 1.000.000.005 anos (
), dado que ele não se desintegrou em 1.000.000.000 de anos (
). (Use probabilidade condicional).
(1,5 ponto) a) Calcule a probabilidade de que o átomo se desintegre num intervalo
(1 ponto) b) Qual é a probabilidade que o átomo se desintegre em até 1.000.000.005 anos (
Passo 1
O enunciado descreve uma variável aleatória
que mede o tempo de decaimento de um átomo segundo uma distribuição exponencial com meia-vida de
anos. Isso significa que
e que usaremos a lei de decaimento exponencial, cujo parâmetro
satisfaz
para calcular probabilidades do tipo
,
e probabilidades condicionais, valendo a propriedade de falta de memória.
Passo 2
Para determinar o parâmetro
usamos
de onde
Passo 3
A probabilidade de o átomo durar mais de
anos é
Passo 4
A probabilidade de o decaimento ocorrer entre
e
anos é
Passo 5
Para a probabilidade condicional
podemos usar a definição
com
e
, o que dá
Como
, concluímos que a probabilidade condicional vale