Um material radioativo obedece uma lei de decaimento exponencial com tempo de meia vida de 5 anos. Assim, se X: S [0, infty[ corresponde ao tempo de decaimento de um átomo, então FX tem uma distribuição exponencial tal que P(X <= 5)=12.
(1,5 ponto) a) Calcule a probabilidade de que o átomo se desintegre num intervalo X >= 10 (em mais do que 10 anos). Calcule também a probabilidade de que o átomo se desintegre num intervalo 5 <= X <= 10 (entre 5 e 10 anos).
(1 ponto) b) Qual é a probabilidade que o átomo se desintegre em até 1.000.000.005 anos ( X <= 1.000 000 005 ), dado que ele não se desintegrou em 1.000.000.000 de anos ( X >= 1.000 000 000 ). (Use probabilidade condicional).

Passo 1

O enunciado descreve uma variável aleatória X que mede o tempo de decaimento de um átomo segundo uma distribuição exponencial com meia-vida de 5 anos. Isso significa que
P(X<=5)=tfrac12
e que usaremos a lei de decaimento exponencial, cujo parâmetro lambda satisfaz
F(x)=1-e^-lambda x
para calcular probabilidades do tipo P(X>= x), P(a<= X<= b) e probabilidades condicionais, valendo a propriedade de falta de memória.

Passo 2

Para determinar o parâmetro lambda usamos
P(X<=5)=1-e^-lambdacdot5=tfrac12
de onde
e^-5lambda=tfrac12 Longrightarrow -5lambda=lntfrac12=-ln2 Longrightarrow lambda=ln25

Passo 3

A probabilidade de o átomo durar mais de 10 anos é
P(X>=10)=e^-lambdacdot10 =e^-ln25,10 =e^-2ln2 =(e^ln2)^-2 =2^-2 =tfrac14

Passo 4

A probabilidade de o decaimento ocorrer entre 5 e 10 anos é
P(5<= X<=10) =F(10)-F(5) =l(1-e^-lambdacdot10r)-l(1-e^-lambdacdot5r) =e^-lambdacdot5-e^-lambdacdot10 =tfrac12-tfrac14 =tfrac14

Passo 5

Para a probabilidade condicional
Pl(X<=1,000,000,005mid X>=1,000,000,000r)
podemos usar a definição
P(Amid B) =P(Acap B)P(B)
com A=X<=1,000,000,005 e B=X>=1,000,000,000, o que dá
F(1,000,000,005)-F(1,000,000,000)P(X>=1,000,000,000) =l(1-e^-lambdacdot(1,000,000,005)r)-l(1-e^-lambdacdot1,000,000,000r) e^-lambdacdot1,000,000,000 =1-e^-lambdacdot5
Como e^-lambdacdot5=e^-(ln2/5)cdot5=e^-ln2=tfrac12, concluímos que a probabilidade condicional vale
1-tfrac12 =tfrac12

Resposta

P(X >= 10) = 14
P(5 <= X <= 10) = 14
P(X <= 1000000005 mid X >= 1000000000) = 12

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