Seja ( S, B, P ) um espaço de probabilidade, A e B eventos.
(1,5 ponto) a) Se P(A^c)P(A)=3 e P(A cup B)P((A cup B)^c)=4, mostre que 1120 <= P(B) <= 45.
(1 ponto) b) Se A e B são independentes, mostre que P(A cup B)=1-P(A^c) P(B^c).
Dica: Use nos itens acima que P(A cup B)=P(A)+P(B)-P(A cap B).

Passo 1

O enunciado trabalha num espaço de probabilidade (S,B,P) com eventos A e B.
No item (a) temos as duas razões
P(A^c)P(A) = 3, P(Acup B)Pl((Acup B)^cr) = 4
e queremos mostrar que
1120<= P(B)<= 45
No item (b) assumimos A e B independentes e queremos provar
P(Acup B)=1 - P(A^c),P(B^c)
Para isso vamos usar a fórmula
P(Acup B)=P(A)+P(B)-P(Acap B)

Passo 2

Da relação
P(A^c)P(A)=3
segue P(A^c)=3P(A). Como P(A)+P(A^c)=1, temos
P(A)+3P(A)=1 Longrightarrow 4P(A)=1 Longrightarrow P(A)=14,
e então
P(A^c)=1-14=34

Passo 3

Da razão
P(Acup B)Pl((Acup B)^cr)=4
escrevemos Pl((Acup B)^cr)=1-P(Acup B). Logo
P(Acup B)1-P(Acup B)=4 Longrightarrow P(Acup B)=4l(1-P(Acup B)r) Longrightarrow 5,P(Acup B)=4 Longrightarrow P(Acup B)=45
Usando então
P(Acup B)=P(A)+P(B)-P(Acap B)
temos
45 =14 + P(B)-P(Acap B) Longrightarrow P(B)-P(Acap B) =45-14 =16-520 =1120

Passo 4

Da igualdade
P(B)-P(Acap B)=1120
podemos escrever
P(B)=1120+P(Acap B)
Como sempre 0<= P(Acap B)<= P(A)=tfrac14, obtemos
P(B)>= 1120+0=1120, P(B)<= 1120+14 =1120+520 =1620 =45
Isso prova a desigualdade pedida em (a).

Passo 5

Supondo agora A e B independentes, vale
P(Acap B)=P(A),P(B)
Usando a fórmula da união,
P(Acup B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B) =P(A)+P(B)-P(A)P(B)
Fatorando,
P(Acup B) =1-l(1-P(A)r)l(1-P(B)r) =1 - P(A^c),P(B^c),
que é exatamente o que se queria mostrar em (b).

Resposta

(a) 1120<= P(B)<= 45
(b) P(Acup B)=1 - P(A^c),P(B^c).

Exercícios relacionados