Exercício 2.23. Calcule o fluxo do campo \vec{F}(x, y, z)=\left(x^{3}-y^{3}, y^{3}-z^{3}, z^{3}-x^{3}\right) através da fronteira do sólido limitado por z=2-x^{2}-y^{2} com x \geq 0, y \geq 0 e z \geq 0, com orientação para cima.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \vec{F}(x,y,z)=(x^3 - y^3,\;y^3 - z^3,\;z^3 - x^3) através da fronteira do sólido S definido por
z = 2 - x^2 - y^2,\quad x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0
com orientação “para cima” na superfície parabólica (o que coincide com a orientação externa ao sólido). Vamos usar o Teorema da Divergência.

Passo 2

Calculamos a divergência de \vec{F}:
\nabla\!\cdot\!\vec{F} = \frac{\partial}{\partial x}(x^3 - y^3) + \frac{\partial}{\partial y}(y^3 - z^3) + \frac{\partial}{\partial z}(z^3 - x^3) = 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 =3\,(x^2 + y^2 + z^2).

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas, x=r\cos\theta, y=r\sin\theta,
\theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}], r\in[0,\sqrt2], z\in[0,\,2-r^2], e dV=r\,dz\,dr\,d\theta.
O fluxo é
\Phi =\iiint_{S}\nabla\!\cdot\!\vec{F}\,dV =3\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{\sqrt2}\!\int_{0}^{2-r^2} \bigl(r^2+z^2\bigr)\,r\;dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

Integramos primeiro em z:
\int_{0}^{2-r^2}(r^2+z^2)\,r\,dz = r^3(2-r^2) +\frac{r\,(2-r^2)^3}{3}.
Assim
\Phi =3\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{\sqrt2} \Bigl[r^3(2-r^2)+\tfrac{r\,(2-r^2)^3}{3}\Bigr]\,dr\,d\theta =\frac{3\pi}{2}\!\int_{0}^{\sqrt2}r^3(2-r^2)\,dr \;+\;\frac{\pi}{2}\!\int_{0}^{\sqrt2}r\,(2-r^2)^3\,dr.

Passo 5

Calculamos separadamente
\int_{0}^{\sqrt2}r^3(2-r^2)\,dr =2/3, \qquad \int_{0}^{\sqrt2}r\,(2-r^2)^3\,dr =1/2.
Logo
\Phi =\frac{3\pi}{2}\cdot\frac{2}{3} +\frac{\pi}{2}\cdot\frac12 =\pi+\frac{\pi}{4} =\frac{5\pi}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{5\pi}{4}

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