Exercício 22. Considere o triângulo \triangle A B C, onde A=(2,2), B=(4,1) e C=(6,3). Determine a altura h do triângulo \triangle A B C medida a partir do vértice B.

Passo 1

O enunciado dá o triângulo \triangle ABC com vértices
A=(2,2),\quad B=(4,1),\quad C=(6,3)
e pede a altura h a partir de B sobre o lado AC. Para resolver, vamos usar geometria analítica, em particular a fórmula que dá a distância de um ponto a uma reta em termos de determinantes (ou produto vetorial em \mathbb{R}^2).

Passo 2

A altura h é a distância do ponto B à reta que passa por A e C. Essa distância pode ser escrita como
h \;=\;\frac{\bigl|\det\bigl(\overrightarrow{BA},\,\overrightarrow{BC}\bigr)\bigr|}{\bigl\|\overrightarrow{AC}\bigr\|}.
Aqui \overrightarrow{BA}=A-B, \overrightarrow{BC}=C-B e \overrightarrow{AC}=C-A.

Passo 3

Calculemos os vetores:
\overrightarrow{BA} = (2,2)-(4,1)=(-2,\,1), \quad \overrightarrow{BC} = (6,3)-(4,1)=(2,\,2).
O determinante em \mathbb{R}^2 é
\det\bigl(\overrightarrow{BA},\,\overrightarrow{BC}\bigr) =(-2)\cdot 2 \;-\; 1\cdot 2 = -4 - 2 = -6,
portanto \bigl|\det(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})\bigr|=6.

Passo 4

Agora a norma de \overrightarrow{AC} é
\overrightarrow{AC}=(6,3)-(2,2)=(4,\,1), \quad \bigl\|\overrightarrow{AC}\bigr\| =\sqrt{4^2+1^2} =\sqrt{17}.

Passo 5

Substituindo na fórmula da distância,
h =\frac{6}{\sqrt{17}} =\frac{6\sqrt{17}}{17}.

Resposta

h = \frac{6}{\sqrt{17}}\quad\bigl(\text{ou}\;\tfrac{6\sqrt{17}}{17}\bigr).

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