Exercício 23. Determine o centro e o raio do círculo de equação x^{2}+y^{2}+x+ 4 y+3=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação geral de um círculo
x^{2}+y^{2}+x+4y+3=0
e pede o centro e o raio. Para resolver, vamos usar a técnica de completar o quadrado em x e em y, de modo a colocar a equação na forma padrão
(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}.

Passo 2

Agrupamos os termos em x e completamos o quadrado:
x^{2}+x = \bigl(x+\tfrac12\bigr)^{2}-\bigl(\tfrac12\bigr)^{2} =\bigl(x+\tfrac12\bigr)^{2}-\tfrac14.

Passo 3

Agora agrupamos os termos em y e completamos o quadrado:
y^{2}+4y = \bigl(y+2\bigr)^{2}-2^{2} =\bigl(y+2\bigr)^{2}-4.

Passo 4

Substituímos essas expressões na equação original:
\bigl(x+\tfrac12\bigr)^{2}-\tfrac14 + \bigl(y+2\bigr)^{2}-4 +3=0.
Somando os termos constantes temos
-\tfrac14 -4 +3 = -\tfrac14 -1 = -\tfrac54,
logo a equação fica
\bigl(x+\tfrac12\bigr)^{2}+\bigl(y+2\bigr)^{2}-\tfrac54=0 \quad\Longrightarrow\quad \bigl(x+\tfrac12\bigr)^{2}+\bigl(y+2\bigr)^{2}=\tfrac54.

Passo 5

Na forma (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2} reconhecemos
h=-\tfrac12,\quad k=-2, \quad r^{2}=\tfrac54 \quad\Longrightarrow\quad r=\sqrt{\tfrac54}=\frac{\sqrt5}{2}.

Resposta

O centro é \bigl(-\tfrac12,\,-2\bigr) e o raio é \dfrac{\sqrt5}{2}.

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