Exercício 3.22 Determinar uma fórmula geral para y^{(n)} (derivada de ordem n de y ) quando:
y=\frac{1}{1-x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ordem n de
y = \frac{1}{1 - x}.
O conteúdo principal é o uso da regra da potência geral e a regra da cadeia para funções do tipo (1 - x)^{m}.

Passo 2

Reescrevemos
y = (1 - x)^{-1}.
Pela regra da potência geral, a derivada de ordem n de u^{m} é
\frac{d^n}{dx^n}\bigl(u(x)^{m}\bigr) = m\,(m-1)\,(m-2)\cdots(m-n+1)\;u(x)^{\,m-n}\;\bigl(u'(x)\bigr)^{n}.

Passo 3

Aqui u(x)=1-x e m=-1. Então o coeficiente da potência é
(-1)(-2)\cdots(-n) = (-1)^{n}\,n!
e u'(x) = -1, de modo que \bigl(u'(x)\bigr)^{n}=(-1)^{n}. Multiplicando,
(-1)^{n}\,n!\times(-1)^{n} = n!.
Além disso o expoente em u(x) fica m-n = -1 - n.

Passo 4

Juntando tudo, a derivada de ordem n é
y^{(n)} = n!\;(1 - x)^{-\,n-1} = \frac{n!}{(1 - x)^{\,n+1}}.

Resposta

y^{(n)} = \frac{n!}{(1 - x)^{\,n+1}}.

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