Exercício 3.22 Determinar uma fórmula geral para y^{(n)} (derivada de ordem n de y ) quando:
y=\frac{1}{a+b x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ordem n da função
y = \frac{1}{a + b x} = (a + b x)^{-1}.
Conteúdo: vamos usar a regra da potência combinada com a regra da cadeia para derivar funções do tipo (a + b x)^{m}.

Passo 2

Vamos calcular as primeiras derivadas e observar o padrão.
Derivando uma vez:
y' = \frac{d}{dx}(a + b x)^{-1} = -1\,(a + b x)^{-2}\,\frac{d}{dx}(a + b x) = -\,\frac{b}{(a + b x)^{2}}.
Derivando pela segunda vez:
y'' = \frac{d}{dx}\Bigl(-b\,(a + b x)^{-2}\Bigr) = -b\bigl(-2\bigr)(a + b x)^{-3}\,b = 2\,\frac{b^2}{(a + b x)^{3}}.
Derivando pela terceira vez:
y''' = \frac{d}{dx}\!\Bigl(2\,b^2\,(a + b x)^{-3}\Bigr) = 2\,b^2\bigl(-3\bigr)(a + b x)^{-4}\,b = -6\,\frac{b^3}{(a + b x)^{4}}.

Passo 3

Dos resultados acima vemos que
y' = (-1)^1\,1!\,\frac{b^1}{(a + b x)^{1+1}},\quad y'' = (-1)^2\,2!\,\frac{b^2}{(a + b x)^{2+1}},\quad y''' = (-1)^3\,3!\,\frac{b^3}{(a + b x)^{3+1}},
e, por indução, conjecturamos a fórmula geral
y^{(n)} = (-1)^n\,n!\,\frac{b^n}{(a + b x)^{n+1}}.

Passo 4

Prova por indução em n:
Base n=1: já obtivemos y' = (-1)^1\,1!\,\frac{b^1}{(a + b x)^{2}}.
Passo de indução: suponha válido para n=k, ou seja,
y^{(k)} = (-1)^k\,k!\,\frac{b^k}{(a + b x)^{k+1}}.
Então
y^{(k+1)} = \frac{d}{dx}\Bigl((-1)^k\,k!\,b^k\,(a + b x)^{-(k+1)}\Bigr) = (-1)^k\,k!\,b^k\,\bigl(-(k+1)\bigr)(a + b x)^{-(k+2)}\,b
= (-1)^{k+1}\,(k+1)!\,\frac{b^{\,k+1}}{(a + b x)^{(k+1)+1}}.
Logo a fórmula vale para todo n.

Resposta

y^{(n)} = (-1)^n\,n!\,\frac{b^n}{(a + b x)^{n+1}}.

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