Exercício 3.22 Determinar uma fórmula geral para
(derivada de ordem
de
) quando:
Passo 1
O enunciado pede a derivada de ordem
da função
Conteúdo: vamos usar a regra da potência combinada com a regra da cadeia para derivar funções do tipo
.
Passo 2
Vamos calcular as primeiras derivadas e observar o padrão.
Derivando uma vez:
Derivando uma vez:
Derivando pela segunda vez:
Derivando pela terceira vez:
Passo 3
Dos resultados acima vemos que
e, por indução, conjecturamos a fórmula geral
Passo 4
Prova por indução em
:
Base : já obtivemos
.
Passo de indução: suponha válido para , ou seja,
Base
Passo de indução: suponha válido para
Então
Logo a fórmula vale para todo
.