Exercício 3.22 Determinar uma fórmula geral para y^{(n)} (derivada de ordem n de y ) quando:
y=\frac{x}{1+x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ordem n de
y = \frac{x}{1+x}.
O conteúdo envolvido é a diferenciação de uma função do tipo potência negativa, e vamos precisar usar a regra geral para derivar (1+x)^{m}.

Passo 2

Para simplificar, reescrevo
y = \frac{x}{1+x} = 1 - \frac{1}{1+x} = 1 - (1+x)^{-1}.
Defino
u(x) = (1+x)^{-1},
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y = 1 - u(x).

Passo 3

Aplico a regra da n-ésima derivada de uma potência: se u(x)=(1+x)^{m}, então
u^{(n)}(x) = m\,(m-1)\,(m-2)\cdots\bigl(m-n+1\bigr)\,(1+x)^{m-n}.
No nosso caso m=-1, então
u^{(n)}(x) =(-1)(-2)\cdots(-n)\,(1+x)^{-1-n} =(-1)^{n}\,n!\,(1+x)^{-1-n}.

Passo 4

Como y=1-u, para n\ge1 temos
y^{(n)}(x) = -\,u^{(n)}(x) = -\bigl[(-1)^{n}\,n!\,(1+x)^{-1-n}\bigr] = (-1)^{n+1}\,n!\,(1+x)^{-n-1}.

Resposta

\boxed{y^{(n)}(x)=(-1)^{\,n+1}\,n!\,\bigl(1+x\bigr)^{-n-1},\quad n\ge1.}

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