Exercício 22 (ELJ 108)
Seja 0 in R um valor regular de f: R^3 R, em que f é uma função de classe C^1. Seja a in R^3 tal que f(a)=0 e gamma:]-1,1[ R^3 uma curva derivável com gamma(0)=a e gamma^prime(0) um vetor que não pertence ao espaço tangente a hiperfície f^-1(0) no ponto a, gamma^prime(0) notin Ta(f^-1(0)). Mostre que existe de<a>0 tal que t mapsto f circ gamma(t) não se anula e tem sinais distintos em ]-de<a, 0[ e em ] 0, de<a[, respectivamente. Interprete geometricamente.

Passo 1

O enunciado fala de uma função de classe C^1
fcolon R^3toR
em que 0 é valor regular, ou seja, nabla f(a)neq 0 sempre que f(a)=0. A pré‐imagem f^-1(0) é então uma superfície regular e o espaço tangente em a é
Tal(f^-1(0)r)=ker Df(a)
Temos também uma curva derivável
gammacolon (-1,1)toR^3
com gamma(0)=a e gamma'(0)notin Ta(f^-1(0)). Queremos mostrar que, ao compor f com gamma, a função
h(t)=fl(gamma(t)r)
não se anula próximo a t=0 e muda de sinal ao passar por zero. Para isso usaremos a Regra da Cadeia e o fato de Df(a)l(gamma'(0)r)neq0.

Passo 2

Defina
h(t)=fl(gamma(t)r)
Como f é C^1 e gamma é derivável, h é derivável e, pela Regra da Cadeia,
h'(0)=Dfl(gamma(0)r)l(gamma'(0)r) = Df(a)l(gamma'(0)r)
Mas gamma'(0)notin Ta(f^-1(0))=ker Df(a), logo
h'(0)neq 0

Passo 3

Como h'(0)neq 0, temos a aproximação de primeira ordem
h(t)=h(0)+h'(0),t+o(t)=h'(0),t+o(t),
já que h(0)=f(a)=0. Para t suficientemente pequeno, o termo o(t) é dominado por |h'(0),t|, então h(t) não se anula para tneq0 pequeno.

Passo 4

Mais precisamente, existe de<a>0 tal que, para todo tin(-de<a,0)cup(0,de<a), vale
h(t)neq 0 e signl(h(t)r)=signl(h'(0),tr)
Em particular, nos intervalos (-de<a,0) e (0,de<a) os sinais de h(t)=f(gamma(t)) são distintos.

Passo 5

Geometricamente, isso significa que a curva gamma atravessa a superfície f^-1(0) de forma transversal em a: ela sai de um “lado” da superfície, cruza o nível zero em a e continua do outro lado, fazendo com que f(gamma(t)) mude de sinal.

Resposta

Existe de<a>0 tal que, para tin(-de<a,0), f(gamma(t)) tem um sinal (por exemplo negativo) e, para tin(0,de<a), tem o sinal oposto, sem se anular para tneq0 próximo de zero.

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