Exercício 22 (ELJ 108)
Seja
um valor regular de
, em que
é uma função de classe
. Seja
tal que
e
uma curva derivável com
e
um vetor que não pertence ao espaço tangente a hiperfície
no ponto
. Mostre que existe
tal que
não se anula e tem sinais distintos em
e em
, respectivamente. Interprete geometricamente.
Seja
Passo 1
O enunciado fala de uma função de classe
em que
é valor regular, ou seja,
sempre que
. A pré‐imagem
é então uma superfície regular e o espaço tangente em
é
Temos também uma curva derivável
com
e
. Queremos mostrar que, ao compor
com
, a função
não se anula próximo a
e muda de sinal ao passar por zero. Para isso usaremos a Regra da Cadeia e o fato de
.
Passo 2
Defina
Como
é
e
é derivável,
é derivável e, pela Regra da Cadeia,
Mas
, logo
Passo 3
Como
, temos a aproximação de primeira ordem
já que
. Para
suficientemente pequeno, o termo
é dominado por
, então
não se anula para
pequeno.
Passo 4
Mais precisamente, existe
tal que, para todo
, vale
Em particular, nos intervalos
e
os sinais de
são distintos.
Passo 5
Geometricamente, isso significa que a curva
atravessa a superfície
de forma transversal em
: ela sai de um “lado” da superfície, cruza o nível zero em
e continua do outro lado, fazendo com que
mude de sinal.
Resposta
Existe
tal que, para
,
tem um sinal (por exemplo negativo) e, para
, tem o sinal oposto, sem se anular para
próximo de zero.