Represente as funções abaixo como série de Taylor ou de Maclaurin em x0 dado e determine 0 intervalo de convergência da série de potências obtida:
f(x)=e^4 x como série de Taylor com x0=-2

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Taylor de f(x)=e^4x em torno de x0=-2. Vamos usar a definição de série de Taylor, que exige as derivadas de f avaliadas em x0, e depois determinar o raio de convergência.

Passo 2

Calculamos a derivada de ordem n de f:
f^(n)(x) = 4^n e^4x
Avaliando em x0=-2, obtemos
f^(n)(-2) = 4^n e^-8

Passo 3

Usando a fórmula da série de Taylor em torno de x0=-2:
f(x) = sumn=0^infty f^(n)(-2)n! (x - (-2))^n = sumn=0^infty 4^n e^-8n!,(x+2)^n

Passo 4

Para o raio de convergência R, aplicamos o teste da razão ao termo geral
an = 4^n e^-8n!(x+2)^n:
limntoinfty |an+1an| = limntoinfty 4|x+2|n+1 = 0
Como esse limite é 0 para todo x, a série converge para todo x, ou seja, R=infty.

Resposta

e^4x = sumn=0^infty 4^n e^-8n!,(x+2)^n,
intervalo de convergência: (-infty,infty).

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