Represente as funções abaixo como série de Taylor ou de Maclaurin em x0 dado e determine 0 intervalo de convergência da série de potências obtida:
f(x)=11+2 x como série de Maclaurin ( x0=0 )

Passo 1

O enunciado pede a expansão de Maclaurin (isto é, a série de Taylor em x0=0) da função
f(x)=11+2x,
O conteúdo usado será a série geométrica, que diz que
11-q=sumn=0^inftyq^n,para |q|<1

Passo 2

Reescrevemos
f(x)=11+2x=11-(-2x),
de modo que podemos aplicar a série geométrica com q=-2x. Logo,
f(x)=sumn=0^infty(-2x)^n =sumn=0^infty(-2)^nx^n
Os primeiros termos são
1-2x+4x^2-8x^3+cdots

Passo 3

A condição de convergência da série geométrica é
|q|<1Longrightarrow|-2x|<1Longrightarrow|x|<tfrac12
Portanto, o intervalo de convergência é
-tfrac12<x<tfrac12

Resposta

11+2x=sumn=0^infty(-2)^nx^n, |x|<tfrac12

Exercícios relacionados