integral (3 x+2) d xx(x+1)^3

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
integral 3x+2x,(x+1)^3,dx
Isso é uma integral de função racional, então vamos usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Suponha
3x+2x,(x+1)^3 = Ax + Bx+1 + C(x+1)^2 + D(x+1)^3
Multiplicando ambos os lados por x,(x+1)^3, obtemos
3x+2 = A(x+1)^3 + B,x,(x+1)^2 + C,x,(x+1) + D,x
Expandindo e igualando coeficientes de potências de x, chega-se a
A=2, B=-2, C=-2, D=1

Passo 3

Substituindo de volta, a integral vira
integrall(2x - 2x+1 - 2(x+1)^2 + 1(x+1)^3r),dx
Agora integramos termo a termo usando
integral1x,dx=ln|x| e
integral (x+1)^n,dx=(x+1)^n+1n+1.

Passo 4

Calculando cada parte:
integral2x,dx = 2ln|x|, integral!l(-tfrac2x+1r),dx = -2ln|x+1|, integral!l(-tfrac2(x+1)^2r),dx = -2,(x+1)^-1| = 2x+1, integral1(x+1)^3,dx = -12(x+1)^2
Somando tudo e adicionando a constante de integração C, obtemos a primitiva.

Resposta

2ln|x| ;-; 2ln|x+1| ;+; 2x+1 ;-; 12(x+1)^2 ;+; C

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