Exercício 22. (ELJ 118) Seja
uma submersão de classe
tal que
, para todo
. Mostre que a função
não tem máximos nem mínimos locais.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma aplicação
de classe
e que é submersão em todo ponto, ou seja, para todo
o diferencial
é sobrejetor (posto máximo igual a 3). Além disso,
para todo
, então a norma
nunca é zero e a função
é
. Queremos mostrar que
não tem máximos nem mínimos locais.
Passo 2
Como
é composição de
(classe
) com a norma em
(que também é
), vale a regra da cadeia:
Mas sabemos que, em
,
isto é, o gradiente da norma em
é
.
Passo 3
Dessa forma, para qualquer vetor
,
Defina
Como
é sobrejetor, a imagem de
é todo
. Se por absurdo
fosse o funcional zero, teríamos
o que obrigaria
, contradição. Logo
nunca é zero.
Passo 4
Uma função
que não possui pontos críticos (
para todo
) não pode ter extremos locais. Portanto,
não tem máximos nem mínimos locais.
Resposta
A função
não apresenta máximos nem mínimos locais.