Exercício 22. (ELJ 118) Seja f: R^4 R^3 uma submersão de classe C^1 tal que f(x) neq 0, para todo x in R^4. Mostre que a função x mapsto|f(x)| não tem máximos nem mínimos locais.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma aplicação fcolon R^4toR^3 de classe C^1 e que é submersão em todo ponto, ou seja, para todo xinR^4 o diferencial
Df(x)colon R^4 to R^3
é sobrejetor (posto máximo igual a 3). Além disso, f(x)neq0 para todo x, então a norma |f(x)| nunca é zero e a função
g(x)=|f(x)|
é C^1. Queremos mostrar que g não tem máximos nem mínimos locais.

Passo 2

Como g é composição de f (classe C^1) com a norma em R^3setminus0 (que também é C^1), vale a regra da cadeia:
Dg(x)=Dl(|cdot|r)l(f(x)r),circ,Df(x)
Mas sabemos que, em R^3setminus0,
Dl(|cdot|r)(y)=y|y|,
isto é, o gradiente da norma em y é y/|y|.

Passo 3

Dessa forma, para qualquer vetor vinR^4,
Dg(x)[v] =llang<= f(x)|f(x)|,,Df(x)[v]rrang<=
Defina
u=f(x)|f(x)|inR^3, uneq0
Como Df(x) é sobrejetor, a imagem de Df(x) é todo R^3. Se por absurdo Dg(x) fosse o funcional zero, teríamos
lang<= u,,wrang<==0 para todo winIm,Df(x)=R^3,
o que obrigaria u=0, contradição. Logo Dg(x) nunca é zero.

Passo 4

Uma função C^1 que não possui pontos críticos ( Dg(x)neq0 para todo x) não pode ter extremos locais. Portanto, g(x)=|f(x)| não tem máximos nem mínimos locais.

Resposta

A função xmapsto|f(x)| não apresenta máximos nem mínimos locais.

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