Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas de 2^{\circ} ordem. Resolva o PVI se as condições iniciais forem dadas.
y^{\prime \prime}+8 y^{\prime}+16=0, y^{\prime}(0)=0 e y(0)=2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais (PVI):
y'' + 8y' + 16 = 0,\qquad y(0)=2,\qquad y'(0)=0.
As perguntas que precisamos responder são:
  • Encontrar a solução geral da equação diferencial dada.
  • Se possível, determinar a solução do problema de valor inicial (PVI) usando as condições y(0)=2 e y'(0)=0.

Passo 2

Primeiro vamos verificar a forma da equação e o método apropriado. Esta é uma equação linear com coeficientes constantes. Um método padrão e muito eficiente para esse tipo de equação é procurar soluções da forma exponencial
y(x)=e^{r x},
onde r é um número (possivelmente complexo) a determinar. Substituindo y=e^{r x} em y''+8y'+16=0 obtemos a equação característica associada:
r^{2}+8r+16=0.
Agora vamos resolver essa equação quadrática para r. A fórmula quadrática ou completar quadrado mostra que
r^{2}+8r+16=(r+4)^{2},
portanto a equação característica tem uma raiz real dupla:
r=-4\quad\text{(multiplicidade 2)}.

Passo 3

Quando a equação característica tem uma raiz real de multiplicidade 2, a forma geral das soluções da equação homogênea é
y(x) = \big(C_{1} + C_{2}x\big)e^{-4x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Vou explicar por que: para raízes simples temos soluções independentes e^{r_{1}x} e e^{r_{2}x}; quando a raiz se repete, a segunda solução independente é x e^{r x} — isso garante independência linear e cobre o espaço de soluções da equação linear de segunda ordem.
Portanto a solução geral é
y(x)=\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{-4x}.

Passo 4

Agora aplicamos as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.
Primeiro, usando y(0)=2:
y(0)=\big(C_{1}+C_{2}\cdot 0\big)e^{0}=C_{1}=2.
Logo C_{1}=2.
Em seguida precisamos de y'(x). Derivando y(x)=\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{-4x} pelo produto (regra do produto):
y'(x)=C_{2}e^{-4x}+\big(C_{1}+C_{2}x\big)(-4)e^{-4x}.
Fatorando e^{-4x} obtemos
y'(x)=e^{-4x}\big(C_{2}-4C_{1}-4C_{2}x\big).
Agora calculamos y'(0) e usamos a condição y'(0)=0:
y'(0)=\big(C_{2}-4C_{1}-4C_{2}\cdot 0\big)e^{0}=C_{2}-4C_{1}=0.
Substituindo C_{1}=2 segue
C_{2}-4\cdot 2=0\quad\Rightarrow\quad C_{2}=8.

Passo 5

Com os valores das constantes, a solução do PVI fica
y(x)=\big(2+8x\big)e^{-4x}.
Essa é a solução que satisfaz tanto a equação diferencial quanto as condições iniciais dadas. É sempre uma boa ideia, se houver tempo na prova, verificar rapidamente substituindo y e y', y'' na equação original para confirmar que tudo bate (aqui a forma exponencial e a construção pelo polinômio em x garantem que a equação característica foi satisfeita).

Resposta

\displaystyle y(x)=\big(2+8x\big)e^{-4x}

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