Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas de
ordem. Resolva o PVI se as condições iniciais forem dadas.
e
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais (PVI):
As perguntas que precisamos responder são:
- Encontrar a solução geral da equação diferencial dada.
- Se possível, determinar a solução do problema de valor inicial (PVI) usando as condições
e .
Passo 2
Primeiro vamos verificar a forma da equação e o método apropriado. Esta é uma equação linear com coeficientes constantes. Um método padrão e muito eficiente para esse tipo de equação é procurar soluções da forma exponencial
onde
é um número (possivelmente complexo) a determinar. Substituindo
em
obtemos a equação característica associada:
Agora vamos resolver essa equação quadrática para
. A fórmula quadrática ou completar quadrado mostra que
portanto a equação característica tem uma raiz real dupla:
Passo 3
Quando a equação característica tem uma raiz real de multiplicidade 2, a forma geral das soluções da equação homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias. Vou explicar por que: para raízes simples temos soluções independentes
e
; quando a raiz se repete, a segunda solução independente é
— isso garante independência linear e cobre o espaço de soluções da equação linear de segunda ordem.
Portanto a solução geral é
Passo 4
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar
e
.
Primeiro, usando
:
Logo
.
Em seguida precisamos de
. Derivando
pelo produto (regra do produto):
Fatorando
obtemos
Agora calculamos
e usamos a condição
:
Substituindo
segue
Passo 5
Com os valores das constantes, a solução do PVI fica
Essa é a solução que satisfaz tanto a equação diferencial quanto as condições iniciais dadas. É sempre uma boa ideia, se houver tempo na prova, verificar rapidamente substituindo
e
,
na equação original para confirmar que tudo bate (aqui a forma exponencial e a construção pelo polinômio em
garantem que a equação característica foi satisfeita).