Exercício 05
Considere uma onda harmônica descrita por y(x, t)=A \sin (k x-\omega t).
(d) Obtenha uma expressão para E / \Delta x associada a essa transferência na corda, com E representando a energia mecânica e \Delta x um elemento da corda.
Passo 1
O enunciado dá a deformação da corda por
y(x,t)=A\sin(kx-\omega t).
O que é pedido: uma expressão para \dfrac{E}{\Delta x}, isto é, a energia mecânica associada a um pequeno trecho da corda de comprimento \Delta x dividida por \Delta x (energia por unidade de comprimento), em função das quantidades relevantes.
Informações relevantes que vamos precisar (não fornecidas no enunciado, mas necessárias fisicamente):
\mu: massa linear da corda (massa por unidade de comprimento).
\tau: tensão da corda (força de tração constante).
Para ondas na corda existe a velocidade de propagação v com v=\dfrac{\omega}{k} e, para uma corda ideal, \tau=\mu v^2.
Nada mais será presumido; a partir de y(x,t) vamos calcular as energias cinética e potencial do trecho \Delta x e dividir por \Delta x.
Passo 2
Energia cinética do elemento \Delta x.
A massa do trecho é \Delta m=\mu\,\Delta x.
A velocidade vertical de um ponto da corda é \dfrac{\partial y}{\partial t}. A energia cinética instantânea do trecho é
Explicando a fórmula: \tfrac{1}{2}m v^2 é a energia cinética usual; aqui m=\Delta m e v=\partial y/\partial t (apenas a componente vertical varia; a massa do trecho se move verticalmente).
Passo 3
Energia potencial (elástica) armazenada por estiramento do elemento \Delta x.
O comprimento real do trecho inclinado é \Delta s=\sqrt{1+\left(\dfrac{\partial y}{\partial x}\right)^2}\,\Delta x.
A elongação do trecho, para pequenos declives \left|\dfrac{\partial y}{\partial x}\right|\ll1, é
\Delta s-\Delta x \approx \Delta x\left(\sqrt{1+\varepsilon}-1\right)\quad\text{com}\quad \varepsilon=\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2.
Usando a expansão em série \sqrt{1+\varepsilon}\approx 1+\tfrac{1}{2}\varepsilon (válida para \varepsilon\ll1), obtemos
\Delta s-\Delta x \approx \tfrac{1}{2}\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2\Delta x.
A energia potencial associada à tensão \tau é trabalho contra a tensão para esticar o trecho:
Explicando: \tau é força praticamente constante no trecho e a energia elástica (pequeno alongamento) é força × deslocamento médio, resultando na expressão quadrática em \partial y/\partial x.
Passo 4
Energia total do elemento e expressão por unidade de comprimento (instantânea).
Somando as duas contribuições e dividindo por \Delta x obtemos a densidade de energia instantânea:
Esta é a forma geral: meia vezes massa linear vezes quadrado da velocidade vertical mais meia vezes tensão vezes quadrado do gradiente espacial (representando energia potencial elástica).
Passo 5
Substituir y(x,t)=A\sin(kx-\omega t) nas derivadas e simplificar.
Observação útil (muito usada em provas): a forma intermédiária com \tfrac{1}{2}(\mu\omega^2+\tau k^2)A^2\cos^2 é a forma geral válida mesmo sem usar \tau=\mu v^2; a forma \mu A^2\omega^2\cos^2 é o resultado simplificado para uma onda que de fato satisfaz v=\omega/k numa corda com tensão \tau.
Passo 6
Comentário final pedagógico (muito útil na hora da prova).