Exercício 05
Considere uma onda harmônica descrita por y(x, t)=A \sin (k x-\omega t).
(d) Obtenha uma expressão para E / \Delta x associada a essa transferência na corda, com E representando a energia mecânica e \Delta x um elemento da corda.

Passo 1

O enunciado dá a deformação da corda por
y(x,t)=A\sin(kx-\omega t).
O que é pedido: uma expressão para \dfrac{E}{\Delta x}, isto é, a energia mecânica associada a um pequeno trecho da corda de comprimento \Delta x dividida por \Delta x (energia por unidade de comprimento), em função das quantidades relevantes.
Informações relevantes que vamos precisar (não fornecidas no enunciado, mas necessárias fisicamente):
  • \mu: massa linear da corda (massa por unidade de comprimento).
  • \tau: tensão da corda (força de tração constante).
  • Para ondas na corda existe a velocidade de propagação v com v=\dfrac{\omega}{k} e, para uma corda ideal, \tau=\mu v^2.
Nada mais será presumido; a partir de y(x,t) vamos calcular as energias cinética e potencial do trecho \Delta x e dividir por \Delta x.

Passo 2

Energia cinética do elemento \Delta x.
  • A massa do trecho é \Delta m=\mu\,\Delta x.
  • A velocidade vertical de um ponto da corda é \dfrac{\partial y}{\partial t}. A energia cinética instantânea do trecho é
\Delta E_{\text{cin}}=\tfrac{1}{2}\Delta m\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^2 =\tfrac{1}{2}\mu\,\Delta x\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^2.
Explicando a fórmula: \tfrac{1}{2}m v^2 é a energia cinética usual; aqui m=\Delta m e v=\partial y/\partial t (apenas a componente vertical varia; a massa do trecho se move verticalmente).

Passo 3

Energia potencial (elástica) armazenada por estiramento do elemento \Delta x.
  • O comprimento real do trecho inclinado é \Delta s=\sqrt{1+\left(\dfrac{\partial y}{\partial x}\right)^2}\,\Delta x.
  • A elongação do trecho, para pequenos declives \left|\dfrac{\partial y}{\partial x}\right|\ll1, é
\Delta s-\Delta x \approx \Delta x\left(\sqrt{1+\varepsilon}-1\right)\quad\text{com}\quad \varepsilon=\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2.
Usando a expansão em série \sqrt{1+\varepsilon}\approx 1+\tfrac{1}{2}\varepsilon (válida para \varepsilon\ll1), obtemos
\Delta s-\Delta x \approx \tfrac{1}{2}\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2\Delta x.
  • A energia potencial associada à tensão \tau é trabalho contra a tensão para esticar o trecho:
\Delta E_{\text{pot}} \approx \tau\bigl(\Delta s-\Delta x\bigr) \approx \tfrac{1}{2}\tau\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2\Delta x.
Explicando: \tau é força praticamente constante no trecho e a energia elástica (pequeno alongamento) é força × deslocamento médio, resultando na expressão quadrática em \partial y/\partial x.

Passo 4

Energia total do elemento e expressão por unidade de comprimento (instantânea).
Somando as duas contribuições e dividindo por \Delta x obtemos a densidade de energia instantânea:
\frac{E}{\Delta x}=\frac{\Delta E_{\text{cin}}+\Delta E_{\text{pot}}}{\Delta x} =\tfrac{1}{2}\mu\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^2+\tfrac{1}{2}\tau\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2.
Esta é a forma geral: meia vezes massa linear vezes quadrado da velocidade vertical mais meia vezes tensão vezes quadrado do gradiente espacial (representando energia potencial elástica).

Passo 5

Substituir y(x,t)=A\sin(kx-\omega t) nas derivadas e simplificar.
  • Derivada temporal:
\frac{\partial y}{\partial t}=-A\omega\cos(kx-\omega t).
  • Derivada espacial:
\frac{\partial y}{\partial x}=A k\cos(kx-\omega t).
Substituindo em \dfrac{E}{\Delta x}:
\frac{E}{\Delta x} =\tfrac{1}{2}\mu\bigl(A\omega\cos(kx-\omega t)\bigr)^2 +\tfrac{1}{2}\tau\bigl(A k\cos(kx-\omega t)\bigr)^2.
Colocando fator comum:
\frac{E}{\Delta x} =\tfrac{1}{2}A^2\cos^2(kx-\omega t)\bigl(\mu\omega^2+\tau k^2\bigr).
Agora usar a relação da onda \;v=\dfrac{\omega}{k} e \tau=\mu v^2. Com isso \tau k^2=\mu v^2 k^2=\mu\omega^2. Substituindo:
\mu\omega^2+\tau k^2=2\mu\omega^2,
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\frac{E}{\Delta x}=\mu A^2\omega^2\cos^2(kx-\omega t).
Observação útil (muito usada em provas): a forma intermédiária com \tfrac{1}{2}(\mu\omega^2+\tau k^2)A^2\cos^2 é a forma geral válida mesmo sem usar \tau=\mu v^2; a forma \mu A^2\omega^2\cos^2 é o resultado simplificado para uma onda que de fato satisfaz v=\omega/k numa corda com tensão \tau.

Passo 6

Comentário final pedagógico (muito útil na hora da prova).
  • A expressão instantânea encontrada é
\frac{E}{\Delta x}=\tfrac{1}{2}A^2\cos^2(kx-\omega t)\bigl(\mu\omega^2+\tau k^2\bigr),
ou, usando \tau=\mu(\omega/k)^2,
\frac{E}{\Delta x}=\mu A^2\omega^2\cos^2(kx-\omega t).
  • A energia média no tempo (média sobre um período, outra resposta que frequentemente pedem) usa \langle\cos^2\rangle=\tfrac{1}{2}, dando
\left\langle\frac{E}{\Delta x}\right\rangle=\tfrac{1}{2}\mu A^2\omega^2.
Isso é bom decorar: média da densidade de energia é metade do valor máximo \mu A^2\omega^2.

Resposta

\frac{E}{\Delta x}=\tfrac{1}{2}A^2\cos^2(kx-\omega t)\bigl(\mu\omega^2+\tau k^2\bigr)
\text{equivalentemente, usando }\tau=\mu\Bigl(\frac{\omega}{k}\Bigr)^2:\quad \frac{E}{\Delta x}=\mu A^2\omega^2\cos^2(kx-\omega t)

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