Exercício 21
Cone de Mach. Considere agora que a fonte seja um avião rápido, com velocidade
.
A situação acima pode ser modelada considerando que a frente de onda se desloca com velocidade de módulo
menor do que
. A geometria do problema permite considerar um cone (cone de Mach) de abertura
em relação ao eixo horizontal.
(e) Um observador no solo vê o avião passando e, 3 segundos depois, ouve o estrondo sônico. A que distância do ponto de observação o avião estava no momento do estrondo?
Cone de Mach. Considere agora que a fonte seja um avião rápido, com velocidade
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações temos.
- O enunciado: Um observador no solo vê o avião passando (momento que chamamos de
) e, segundos depois, ouve o estrondo sônico. Pergunta-se: a que distância do ponto de observação o avião estava no momento em que o observador ouviu o estrondo? - Dados fornecidos (usei também as legendas da figura):
- velocidade do avião:
(constante); - velocidade da frente de onda (velocidade do som no ar):
, com ; - intervalo de tempo entre ver o avião passar e ouvir o estrondo:
.
- velocidade do avião:
- Observação das legendas da figura (peguei estes dados visuais na imagem): após tempo
o avião percorre uma distância horizontal ; a frente de onda gerada em um instante anterior se propaga radialmente com velocidade , tendo raio no instante considerado.
O que é pedido: a distância (linha de vista) entre o observador e o avião no instante em que o estrondo é ouvido.
Passo 2
Entendendo a geometria física (o que é o cone de Mach) — explicação didática.
- Um avião supersônico “empurra” as frentes de onda que ele mesmo gera; como ele se move mais rápido que as ondas, as frentes de onda sucessivas formam uma superfície cônica com vértice no avião — o cone de Mach.
- A abertura (meio ângulo) do cone, que chamo de
, satisfaz a relação geométrica fundamental Por que? Imagine as frentes esféricas geradas em instantes sucessivos: em um intervalo de tempo o som percorre , enquanto o avião avança . O triângulo formado entre o eixo do voo, a aresta do cone e a geratriz da frente de onda dá exatamente . Essa igualdade é a definição prática do ângulo do cone de Mach.
Passo 3
Posicionamento temporal e espacial — traduzindo o enunciado em variáveis.
- Chamamos de
o tempo decorrido entre o momento em que o avião passou sobre o observador e o momento em que o observador ouve o estrondo. No enunciado . - No instante em que o observador ouve o estrondo, o avião já se deslocou horizontalmente uma distância
Essa é a distância ao longo do eixo de voo desde o ponto de passagem sobre o observador até a posição atual do avião.
Passo 4
Relação geométrica entre
,
e a distância procurada.
- No instante do estrondo, o observador está na superfície do cone de Mach com vértice no avião. Portanto a linha que une o avião ao observador forma com o eixo de voo o ângulo
. - Desenhe o triângulo retângulo cujos catetos são: projeção horizontal
(ao longo do eixo de voo) e a componente perpendicular; a hipotenusa é a distância entre o avião e o observador (o que queremos). - Pela definição do cosseno num triângulo:
- Substituindo
obtemos
Passo 5
Expressar
em termos de
,
e
usando
.
- Primeiro escrevemos
a partir de : (Escolhemos o sinal positivo porque é um ângulo agudo no cone de Mach.) - Substituindo em
obtemos a fórmula final
Passo 6
Aplicando o valor numérico do intervalo de tempo dado (
) para expressar a resposta do enunciado.
- Com
a distância pedida é
Passo 7
Interpretação rápida e exemplo para intuição (opcional, para ajudar na prova).
- Se o avião não fosse supersônico (por exemplo
próximo de ), o denominador fica pequeno e grande: o observador ouviria o estrondo com o avião bem distante. - Exemplo numérico rápido (apenas para intuir): se
(Mach 2) e , então e Como , pode-se também expressar em função de se necessário.