Exercício 21
Cone de Mach. Considere agora que a fonte seja um avião rápido, com velocidade w.
A situação acima pode ser modelada considerando que a frente de onda se desloca com velocidade de módulo v menor do que w. A geometria do problema permite considerar um cone (cone de Mach) de abertura \theta em relação ao eixo horizontal.
(e) Um observador no solo vê o avião passando e, 3 segundos depois, ouve o estrondo sônico. A que distância do ponto de observação o avião estava no momento do estrondo?

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações temos.
  • O enunciado: Um observador no solo vê o avião passando (momento que chamamos de t=0) e, 3 segundos depois, ouve o estrondo sônico. Pergunta-se: a que distância do ponto de observação o avião estava no momento em que o observador ouviu o estrondo?
  • Dados fornecidos (usei também as legendas da figura):
    • velocidade do avião: w (constante);
    • velocidade da frente de onda (velocidade do som no ar): v, com v<w;
    • intervalo de tempo entre ver o avião passar e ouvir o estrondo: t=3\\ \text{s}.
  • Observação das legendas da figura (peguei estes dados visuais na imagem): após tempo t o avião percorre uma distância horizontal w t; a frente de onda gerada em um instante anterior se propaga radialmente com velocidade v, tendo raio v\Delta t no instante considerado.
O que é pedido: a distância (linha de vista) entre o observador e o avião no instante em que o estrondo é ouvido.

Passo 2

Entendendo a geometria física (o que é o cone de Mach) — explicação didática.
  • Um avião supersônico “empurra” as frentes de onda que ele mesmo gera; como ele se move mais rápido que as ondas, as frentes de onda sucessivas formam uma superfície cônica com vértice no avião — o cone de Mach.
  • A abertura (meio ângulo) do cone, que chamo de \theta, satisfaz a relação geométrica fundamental \sin\theta=\frac{v}{w}.Por que? Imagine as frentes esféricas geradas em instantes sucessivos: em um intervalo de tempo \Delta t o som percorre v\Delta t, enquanto o avião avança w\Delta t. O triângulo formado entre o eixo do voo, a aresta do cone e a geratriz da frente de onda dá exatamente \sin\theta=(\text{raio da frente})/(\text{distância do avião ao ponto de emissão}) = v/wâãã. Essa igualdade é a definição prática do ângulo do cone de Mach.

Passo 3

Posicionamento temporal e espacial — traduzindo o enunciado em variáveis.
  • Chamamos de t o tempo decorrido entre o momento em que o avião passou sobre o observador e o momento em que o observador ouve o estrondo. No enunciado t=3\\ \text{s}.
  • No instante em que o observador ouve o estrondo, o avião já se deslocou horizontalmente uma distância s=w t.Essa é a distância ao longo do eixo de voo desde o ponto de passagem sobre o observador até a posição atual do avião.

Passo 4

Relação geométrica entre s, \theta e a distância procurada.
  • No instante do estrondo, o observador está na superfície do cone de Mach com vértice no avião. Portanto a linha que une o avião ao observador forma com o eixo de voo o ângulo \theta.
  • Desenhe o triângulo retângulo cujos catetos são: projeção horizontal s (ao longo do eixo de voo) e a componente perpendicular; a hipotenusa é a distância L entre o avião e o observador (o que queremos).
  • Pela definição do cosseno num triângulo: \cos\theta=\frac{s}{L}\quad\Longrightarrow\quad L=\frac{s}{\cos\theta}.
  • Substituindo s=w t obtemos L=\frac{w t}{\cos\theta}.

Passo 5

Expressar L em termos de v, w e t usando \sin\theta=\dfrac{v}{w}.
  • Primeiro escrevemos \cos\theta a partir de \sin\theta: \cos\theta=\sqrt{1-\sin^2\theta}=\sqrt{1-\left(\frac{v}{w}\right)^2}.(Escolhemos o sinal positivo porque \theta é um ângulo agudo no cone de Mach.)
  • Substituindo em L=\dfrac{w t}{\cos\theta} obtemos a fórmula final L=\frac{w t}{\sqrt{1-\left(\dfrac{v}{w}\right)^2}}.

Passo 6

Aplicando o valor numérico do intervalo de tempo dado ( t=3\\ \text{s}) para expressar a resposta do enunciado.
  • Com t=3\\ \text{s} a distância pedida é L=\frac{3\,w}{\sqrt{1-\left(\dfrac{v}{w}\right)^2}}.

Passo 7

Interpretação rápida e exemplo para intuição (opcional, para ajudar na prova).
  • Se o avião não fosse supersônico (por exemplo w próximo de v), o denominador \sqrt{1-(v/w)^2} fica pequeno e L grande: o observador ouviria o estrondo com o avião bem distante.
  • Exemplo numérico rápido (apenas para intuir): se w=2v (Mach 2) e t=3\\ \text{s}, então \sqrt{1-(v/w)^2}=\sqrt{1-(1/2)^2}=\sqrt{3/4}=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e L=\frac{3w}{\sqrt{1-(v/w)^2}}=\frac{3w}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{6w}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\,w.Como w=2v, pode-se também expressar em função de v se necessário.

Resposta

L=\frac{w t}{\sqrt{1-\left(\dfrac{v}{w}\right)^2}}

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