Exercício 22 -Iterações da Secante
Aplique o Método da Secante a
com
e
, até
.
(a) Execute as iterações em tabela com colunas
.
(b) Compare com Newton (a partir de
) e com a bisseção (em [1,2]): número de iterações e avaliações de
.
(c) A secante não exige
; qual é o custo por iteração em termos de avaliações de
?
(a) Execute as iterações em tabela com colunas
(b) Compare com Newton (a partir de
(c) A secante não exige
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que segue foi extraído do enunciado sem assumir nada além do fornecido).
- Função:
. - Chutes iniciais para o método da secante:
e . - Critério de parada: parar quando
. - (a) Pede-se executar as iterações em tabela com as colunas
. - (b) Comparar com Newton (a partir de
) e com a bisseção em : informar número de iterações e número de avaliações de . - (c) Pergunta: a secante não exige
; qual é o custo por iteração em termos de avaliações de ?
Passo 2
Explicando didaticamente o método da secante (passo-a-passo para usar na prova).
- Ideia: a secante aproxima a derivada por uma razão de diferenças entre dois pontos anteriores, gerando uma reta secante que intercepta o eixo
. A fórmula de iteração é
- Significado de cada variável na fórmula:
-
são os dois aproximantes já conhecidos; -
são os valores da função nesses pontos; - o quociente
é a inclinação aproximada da reta secante; sua inversa multiplica para deslocar até a interseção com o eixo .
-
- Observação prática para a prova: armazene
e . A cada iteração só é necessário calcular no novo ponto (se guardar os valores anteriores), então cada iteração gera apenas uma nova avaliação de além das avaliações já existentes. - Critério de parada aqui usado explicitamente: calcular
e parar quando .
Passo 3
Executando as iterações da secante e montando a tabela pedida. Em cada linha mostro
. Os valores numéricos estão arredondados para 9 casas decimais (o que é suficiente para a verificação do critério
).
Aplicando a fórmula da secante para gerar os próximos
:
- Observação sobre a tabela: os
foram calculados em cada novo ; o critério é satisfeito no (aqui ). - Notas de verificação: a raiz aproximada conhecida desta equação é
. Os convergem para esse valor; veja que coincide com a aproximação correta até as casas mostradas e satisfaz o critério pedido.
Passo 4
Comparação com Newton (a partir de
) e com bisseção em
. Vou contar “número de iterações” como o número de atualizações (aplicações da fórmula) necessárias até obter um
com
. Também conto todas as avaliações de
que tiveram de ser feitas (incluindo as iniciais).
- Secante (resultado do passo anterior)
- Número de iterações (aplicações da fórmula da secante): foram geradas
→ 5 iterações. - Avaliações de
: inicialmente calculou-se e (2 avaliações), e em cada iteração calculou-se no novo (mais 5 avaliações). Total de avaliações de : .
- Newton (a partir de
)
- Fórmula de Newton (para relembrar):
, onde . - Cada iteração exige avaliar
e ; aqui pedem só avaliações de , então vamos contar apenas essas. - Simulação (resumo rápido): com
obtém-se , , , (valores aproximados). A convergência é quadrática, por isso chega-se à tolerância em poucas iterações. - Número de iterações (aplicações da fórmula de Newton): 4 iterações (geraram-se
até ). - Avaliações de
: foi necessário avaliar em (inicial) e em cada novo até , totalizando avaliações de .
- Bisseção em
- Método: a cada iteração toma-se o ponto médio
do intervalo atual e avalia-se ; conserva-se o subintervalo onde há mudança de sinal. Em cada iteração há exatamente 1 avaliação nova de (além das avaliações já conhecidas dos extremos). - Para garantir
via bisseção precisamos de uma precisão em tal que seja suficientemente pequena; usando linearização com , exige-se . - A bisseção reduz o erro em
pela metade a cada iteração; o número de iterações necessário satisfaz
Arredondando para inteiro: são necessárias
iterações (calculando 23 pontos médios) para alcançar esse erro em
, o que leva a
pelo argumento linearizado.
- Avaliações de
: inicialmente calculou-se e (2 avaliações). Em cada uma das 23 iterações calcula-se no novo ponto médio (mais 23 avaliações). Total de avaliações de : .
Resumo comparativo (justificando os números):
- Secante: 5 iterações, 7 avaliações de
. - Newton: 4 iterações, 5 avaliações de
(mas lembra: Newton exige também avaliações de em cada iteração). - Bisseção: 23 iterações, 25 avaliações de
.
Interpretação prática: Newton é o mais rápido em número de iterações e f-avaliações aqui (mas exige
e pode falhar sem bom chute). Secante dá bom compromisso: converge quase tão rápido que Newton e evita
, exigindo apenas uma avaliação de
por iteração após os dois chutes iniciais. Bisseção é robusta mas bem mais lenta (muito mais avaliações de
).
Passo 5
Resposta à pergunta (c) de forma direta e didática.
- Custo por iteração da secante em termos de avaliações de
: depois de já ter calculado e guardado e , para calcular só é preciso avaliar no novo quando formos usá-lo na iteração seguinte. Assim, cada iteração da secante custa exatamente uma nova avaliação de (além das duas avaliações iniciais necessárias para começar o método). - Em resumo prático para a prova: custo por iteração = 1 avaliação de
(com a ressalva de que são necessárias 2 avaliações iniciais para iniciar o algoritmo).
Resposta
(a) Tabela de iterações (resumo):
com
; critério satisfeito em
.
(b) Secante: 5 iterações (gerando a
), 7 avaliações de
.
Newton (a partir de ): 4 iterações, 5 avaliações de
.
Bisseção em : 23 iterações, 25 avaliações de
.
(c) Custo por iteração da secante: 1 avaliação de por iteração (além das 2 avaliações iniciais).
(b) Secante: 5 iterações (gerando
Newton (a partir de
Bisseção em
(c) Custo por iteração da secante: 1 avaliação de