Exercício 21 (Desafio) - Casos problemáticos de Newton
Construa um exemplo (escolhendo x_{0} apropriado) em que Newton oscila indefinidamente entre dois pontos sem convergir para a raiz de f(x)= x^{3}-2 x+2.

Passo 1

O enunciado pede que se construa um exemplo — ou seja, escolher um valor inicial \,x_0, apropriado — tal que o método de Newton aplicado à função \,f(x)=x^{3}-2x+2, oscile indefinidamente entre dois pontos, sem convergir para uma raiz. As informações relevantes fornecidas são:
  • A função: \,f(x)=x^{3}-2x+2.
  • A derivada necessária para Newton: \,f'(x) (a calcular quando for preciso).
  • O objetivo prático: encontrar um \,x_0 cujo iterado de Newton gere uma órbita de período 2 (do tipo a\mapsto b\mapsto a\mapsto b\ldots), com a e b distintos e sem serem raízes de f.

Passo 2

Lembrando a fórmula do método de Newton: dado \,f diferenciável, a iteração de Newton é definida pelo mapa
N(x)=x-\frac{f(x)}{f'(x)}.
Aqui precisamos primeiro calcular \,f'(x) para a nossa função.
Calculemos:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-2x+2\bigr)=3x^{2}-2.
Portanto o mapa de Newton para esta função é
N(x)=x-\frac{x^{3}-2x+2}{3x^{2}-2}.

Passo 3

Agora vamos testar pontos simples que possam gerar um ciclo de período 2. Teste natural: \,x=0.
Substituindo em N(x):
N(0)=0-\frac{0^{3}-2\cdot0+2}{3\cdot0^{2}-2}= -\frac{2}{-2}=1.
Conclusão parcial: N(0)=1.

Passo 4

Teste agora o ponto \,x=1.
Substituindo em N(x):
N(1)=1-\frac{1^{3}-2\cdot1+2}{3\cdot1^{2}-2}=1-\frac{1-2+2}{3-2}=1-\frac{1}{1}=0.
Conclusão parcial: N(1)=0.

Passo 5

Das contas anteriores temos a propriedade clara de período 2:
N(0)=1\qquad\text{e}\qquad N(1)=0,
logo a iteração parte de 0 vai para 1 e de 1 volta para 0. Assim, se escolhermos \,x_0=0 (ou \,x_0=1), a sequência de Newton é
0,\,1,\,0,\,1,\,0,\ldots
ou seja, oscila indefinidamente entre os dois pontos 0 e 1.

Passo 6

Verifiquemos que esses pontos não são raízes de f (para garantir que realmente não há convergência para uma raiz):
f(0)=0^{3}-2\cdot0+2=2\neq0,
f(1)=1^{3}-2\cdot1+2=1\neq0.
Portanto nem 0 nem 1 são raízes; são pontos periódicos de período 2 do mapa de Newton.

Passo 7

Comentário didático rápido (intuição para a prova): raízes de f são pontos fixos do mapa N (pois se f(r)=0 então N(r)=r). Mas o mapa N pode ter outros pontos periódicos (como este ciclo de período 2). O que fizemos foi encontrar explicitamente dois pontos a=0 e b=1 tais que N(a)=b e N(b)=a. Isso produz uma oscilação perfeita e impede convergência para qualquer raiz quando se escolhe x_0 igual a um desses pontos (ou suficientemente próximo, dependendo da estabilidade do ciclo). É um tipo clássico de “caso problemático” de Newton: o método pode falhar não só por divergir, mas também por ficar preso em ciclos periódicos diferentes das raízes.

Resposta

x_{0}=0 (iterações: 0,1,0,1,\ldots)

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