Exercício 21 (Desafio) - Casos problemáticos de Newton
Construa um exemplo (escolhendo
apropriado) em que Newton oscila indefinidamente entre dois pontos sem convergir para a raiz de
.
Construa um exemplo (escolhendo
Passo 1
O enunciado pede que se construa um exemplo — ou seja, escolher um valor inicial
, apropriado — tal que o método de Newton aplicado à função
, oscile indefinidamente entre dois pontos, sem convergir para uma raiz. As informações relevantes fornecidas são:
- A função:
. - A derivada necessária para Newton:
(a calcular quando for preciso). - O objetivo prático: encontrar um
cujo iterado de Newton gere uma órbita de período 2 (do tipo ), com e distintos e sem serem raízes de .
Passo 2
Lembrando a fórmula do método de Newton: dado
diferenciável, a iteração de Newton é definida pelo mapa
Aqui precisamos primeiro calcular
para a nossa função.
Calculemos:
Calculemos:
Portanto o mapa de Newton para esta função é
Passo 3
Agora vamos testar pontos simples que possam gerar um ciclo de período 2. Teste natural:
.
Substituindo em :
Substituindo em
Conclusão parcial:
.
Passo 4
Teste agora o ponto
.
Substituindo em :
Substituindo em
Conclusão parcial:
.
Passo 5
Das contas anteriores temos a propriedade clara de período 2:
logo a iteração parte de
vai para
e de
volta para
. Assim, se escolhermos
(ou
), a sequência de Newton é
ou seja, oscila indefinidamente entre os dois pontos
e
.
Passo 6
Verifiquemos que esses pontos não são raízes de
(para garantir que realmente não há convergência para uma raiz):
Portanto nem
nem
são raízes; são pontos periódicos de período 2 do mapa de Newton.
Passo 7
Comentário didático rápido (intuição para a prova): raízes de
são pontos fixos do mapa
(pois se
então
). Mas o mapa
pode ter outros pontos periódicos (como este ciclo de período 2). O que fizemos foi encontrar explicitamente dois pontos
e
tais que
e
. Isso produz uma oscilação perfeita e impede convergência para qualquer raiz quando se escolhe
igual a um desses pontos (ou suficientemente próximo, dependendo da estabilidade do ciclo). É um tipo clássico de “caso problemático” de Newton: o método pode falhar não só por divergir, mas também por ficar preso em ciclos periódicos diferentes das raízes.