Exercício 34. Demonstre que
h(x)=x^{2} \log |x|

Passo 1

O enunciado dá a função
h(x)=x^{2}\,\log\lvert x\rvert,\quad x\neq0
e pede para demonstrarmos sua derivada. O conteúdo usado será a regra do produto e a derivada de \log\lvert x\rvert.

Passo 2

Lembrando que, para x\neq0,
\bigl(\log\lvert x\rvert\bigr)'=\frac1x.

Passo 3

Também sabemos que
(x^{2})'=2x.

Passo 4

Aplicando a regra do produto em
h(x)=u(x)\,v(x)
com u(x)=x^{2} e v(x)=\log\lvert x\rvert, temos
h'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 5

Substituindo u'(x)=2x e v'(x)=1/x, obtemos
h'(x)=2x\;\log\lvert x\rvert \;+\;x^{2}\cdot\frac1x =2x\;\log\lvert x\rvert +x.

Resposta

h'(x)=2x\,\log\lvert x\rvert +x.

Exercícios relacionados