Exercício 22. Mostre que todo elemento de \mathbb{F} é autovalor de S \in \mathcal{L}\left(\mathbb{F}^{\infty}\right), onde
S\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots\right)=\left(x_{2}, x_{3}, \ldots\right),
e encontre todos os autovetores de S.

Passo 1

O enunciado dá o operador linear S\colon \mathbb{F}^{\infty}\to\mathbb{F}^{\infty} definido por
S\left(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots\right)=\left(x_{2},x_{3},x_{4},\ldots\right),
e pede duas coisas:
  • mostrar que todo elemento de \mathbb{F} é autovalor de S, isto é, para cada \lambda\in\mathbb{F} existe um vetor não-nulo x\in\mathbb{F}^{\infty} tal que Sx=\lambda x;
  • encontrar todos os autovetores de S (para cada \lambda, descrever o espaço próprio correspondente).
Observação (assunção usada aqui): vou entender \mathbb{F}^{\infty} como o espaço de todas as sequências \left(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots\right) com entradas em \mathbb{F} (sem exigir que só finitamente muitas sejam não-nulas). Essa interpretação é compatível com o enunciado que afirma que todo \lambda\in\mathbb{F} é autovalor.

Passo 2

Lembrete do que é autovalor e autovetor (didático): um número \lambda\in\mathbb{F} é autovalor de um operador linear T se existe um vetor não-nulo x tal que
T x=\lambda x.
Esse x é chamado autovetor associado a \lambda. Para nosso S tomemos um vetor genérico
x=\left(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots\right)\in\mathbb{F}^{\infty}.
A equação de autovalor Sx=\lambda x escreve-se componente a componente como
\left(x_{2},x_{3},x_{4},\ldots\right)=\left(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\lambda x_{3},\ldots\right).
Isso produz o sistema de igualdades (uma por componente):
x_{2}=\lambda x_{1},\qquad x_{3}=\lambda x_{2},\qquad x_{4}=\lambda x_{3},\qquad\ldots
ou, de forma compacta,
x_{n+1}=\lambda x_{n}\quad\text{para todo }n\ge 1.

Passo 3

Resolver a recorrência x_{n+1}=\lambda x_{n}. Vamos obter uma fórmula fechada para x_{n} em termos de x_{1}.
Base (n=1): a relação comuta com x_{2}=\lambda x_{1}, que já é a primeira iteração.
Passo indutivo (didático): suponha que x_{n}=\lambda^{\,n-1}x_{1} para algum n\ge1. Então
x_{n+1}=\lambda x_{n}=\lambda\cdot\lambda^{\,n-1}x_{1}=\lambda^{\,n}x_{1}.
Pelo princípio de indução concluímos que, para todo n\ge1,
x_{n}=\lambda^{\,n-1}x_{1}.
Portanto qualquer vetor x que satisfaça Sx=\lambda x tem a forma
x=\left(x_{1},\lambda x_{1},\lambda^{2}x_{1},\lambda^{3}x_{1},\ldots\right)=x_{1}\,\left(1,\lambda,\lambda^{2},\lambda^{3},\ldots\right).

Passo 4

Existência de autovetor não-nulo para qualquer \lambda. Para cada \lambda\in\mathbb{F} basta escolher x_{1}\neq 0 e definir x conforme a fórmula acima. Por exemplo escolher x_{1}=1 dá o vetor
v_{\lambda}=\left(1,\lambda,\lambda^{2},\lambda^{3},\ldots\right).
Verificação direta (mostrando que é mesmo autovetor):
S v_{\lambda}=\left(\lambda,\lambda^{2},\lambda^{3},\ldots\right)=\lambda\left(1,\lambda,\lambda^{2},\ldots\right)=\lambda v_{\lambda}.
Como v_{\lambda}\neq 0 (a primeira coordenada é 1), concluímos que \lambda é autovalor de S. Como \lambda era arbitrário, todo elemento de \mathbb{F} é autovalor de S.

Passo 5

Descrição completa dos autovetores (estrutura do espaço próprio). A análise do Passo 3 já mostrou que qualquer x satisfazendo Sx=\lambda x deve ser um múltiplo escalar de v_{\lambda}=\left(1,\lambda,\lambda^{2},\ldots\right). Além disso o zero nunca é considerado autovetor; todos os vetores não-nulos da forma
x=c\,\left(1,\lambda,\lambda^{2},\ldots\right)\quad\text{com }c\in\mathbb{F},\\ c\neq 0,
são exatamente os autovetores associados a \lambda. Em outras palavras, o espaço próprio relativo a \lambda é
\operatorname{Eig}(\lambda)=\operatorname{span}\{(1,\lambda,\lambda^{2},\ldots)\},
que é um subespaço unidimensional de \mathbb{F}^{\infty}.
Observação sobre o caso \lambda=0: a fórmula produz v_{0}=(1,0,0,0,\ldots) e o espaço próprio é \operatorname{span}\{(1,0,0,\ldots)\}, que coincide com as sequências cuja única possível coordenada não-nula é a primeira. A descrição anterior inclui esse caso sem necessidade de tratamento separado (tirando a questão de interpretar 0^{0} — pode-se ver diretamente pelas equações).

Resposta

Para cada \lambda\in\mathbb{F} tem-se que \lambda é autovalor de S.
Os autovetores associados a \lambda são exatamente os vetores não-nulos da forma
c\,\left(1,\lambda,\lambda^{2},\lambda^{3},\ldots\right)
com c\in\mathbb{F},\\ c\neq 0. Ou seja,
\operatorname{Eig}(\lambda)=\operatorname{span}\{\,(1,\lambda,\lambda^{2},\ldots)\,\}.

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