Exercício 22. Mostre que todo elemento de
é autovalor de
, onde
e encontre todos os autovetores de
.
Passo 1
O enunciado dá o operador linear
definido por
e pede duas coisas:
- mostrar que todo elemento de
é autovalor de , isto é, para cada existe um vetor não-nulo tal que ; - encontrar todos os autovetores de
(para cada , descrever o espaço próprio correspondente).
Observação (assunção usada aqui): vou entender
como o espaço de todas as sequências
com entradas em
(sem exigir que só finitamente muitas sejam não-nulas). Essa interpretação é compatível com o enunciado que afirma que todo
é autovalor.
Passo 2
Lembrete do que é autovalor e autovetor (didático): um número
é autovalor de um operador linear
se existe um vetor não-nulo
tal que
Esse
é chamado autovetor associado a
. Para nosso
tomemos um vetor genérico
A equação de autovalor
escreve-se componente a componente como
Isso produz o sistema de igualdades (uma por componente):
ou, de forma compacta,
Passo 3
Resolver a recorrência
. Vamos obter uma fórmula fechada para
em termos de
.
Base (n=1): a relação comuta com
, que já é a primeira iteração.
Passo indutivo (didático): suponha que
para algum
. Então
Pelo princípio de indução concluímos que, para todo
,
Portanto qualquer vetor
que satisfaça
tem a forma
Passo 4
Existência de autovetor não-nulo para qualquer
. Para cada
basta escolher
e definir
conforme a fórmula acima. Por exemplo escolher
dá o vetor
Verificação direta (mostrando que é mesmo autovetor):
Como
(a primeira coordenada é
), concluímos que
é autovalor de
. Como
era arbitrário, todo elemento de
é autovalor de
.
Passo 5
Descrição completa dos autovetores (estrutura do espaço próprio). A análise do Passo 3 já mostrou que qualquer
satisfazendo
deve ser um múltiplo escalar de
. Além disso o zero nunca é considerado autovetor; todos os vetores não-nulos da forma
são exatamente os autovetores associados a
. Em outras palavras, o espaço próprio relativo a
é
que é um subespaço unidimensional de
.
Observação sobre o caso
: a fórmula produz
e o espaço próprio é
, que coincide com as sequências cuja única possível coordenada não-nula é a primeira. A descrição anterior inclui esse caso sem necessidade de tratamento separado (tirando a questão de interpretar
— pode-se ver diretamente pelas equações).
Resposta
Para cada
tem-se que
é autovalor de
.
Os autovetores associados a
são exatamente os vetores não-nulos da forma
com
. Ou seja,