Verifique que as seguintes funções são densidades:
f(x)=cc1-|1-x| & se 0 <= x <= 2 0 & caso contrário á

Passo 1

Beleza, o exercício quer que a gente verifique se
f(x)= 1 - |1-x|, & 0 <= x <= 2, 0, & caso contrário á
é uma função densidade de probabilidade. Isso envolve dois pontos da matéria de probabilidade:
  1. Mostrar que para todo .
  2. Mostrar que .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar f(x) = 1 - (1-x) = x por partes, porque o valor absoluto vira duas expressões dependendo de f(x) = 1 - (x-1) = 2-x :
  • Se , então , logo
  • Se , então , logo
Fora de , .

Passo 3

Agora, vamos checar não-negatividade:
  • Para , .
  • Para , porque .
  • Fora desse intervalo, .
    Então tá tudo certo: sempre.

Passo 4

Vamos calcular a integral de integral-infty^inftyf(x),dx =integral0^1x,dx ;+;integral1^2(2-x),dx no eixo todo. Como integral0^1x,dx = [tfracx^22]0^1 = tfrac12, integral1^2(2-x),dx = [2x - tfracx^22]1^2 = l(4-2r) - l(2-tfrac12r) = 2 - tfrac32 = tfrac12 fora de , basta integrar de 0 a 2, dividindo em dois pedaços:
Cada uma dá:
Somando as duas partes: .

Resposta

Sim, é densidade de probabilidade, pois
  1. para todo .
  2. .

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