Verifique que as seguintes funções são densidades:
Passo 1
Beleza, o exercício quer que a gente verifique se
é uma função densidade de probabilidade. Isso envolve dois pontos da matéria de probabilidade:
- Mostrar que
para todo . - Mostrar que
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar
por partes, porque o valor absoluto vira duas expressões dependendo de
:
- Se
, então , logo - Se
, então , logo
Fora de
,
.
Passo 3
Agora, vamos checar não-negatividade:
- Para
, . - Para
, porque . - Fora desse intervalo,
.
Então tá tudo certo:sempre.
Passo 4
Vamos calcular a integral de
no eixo todo. Como
fora de
, basta integrar de 0 a 2, dividindo em dois pedaços:
Cada uma dá:
Somando as duas partes:
.
Resposta
Sim,
é densidade de probabilidade, pois
-
para todo . -
.