Exercício 23 (Avaliação de Produtos) Uma empresa avaliou três produtos segundo dois critérios:
A=\left[\begin{array}{ll} 8 & 6 \\\\ 7 & 9 \\\\ 5 & 8 \end{array}\right]
e o vetor de pesos
w=\left[\begin{array}{l} 0.6 \\\\ 0.4 \end{array}\right]
(a) Calcule Aw.
(b) Qual produto tem melhor pontuação?

Passo 1

O enunciado fornece claramente os seguintes dados:
  • A matriz de avaliações dos três produtos por dois critérios:
A=\begin{pmatrix} 8 & 6\\[4pt] 7 & 9\\[4pt] 5 & 8 \end{pmatrix}
(Na linha 1 está o produto 1, linha 2 o produto 2, linha 3 o produto 3.)
  • O vetor de pesos dos critérios:
w=\begin{pmatrix}0{,}6\\[4pt]0{,}4\end{pmatrix}.
O que é pedido:
(a) Calcular Aw.
(b) Dizer qual produto tem a melhor pontuação (ou seja, qual linha de A resulta no maior valor em Aw).]

Passo 2

Como calcular Aw (explicação didática, passo a passo):
  • Multiplicar uma matriz A\in\mathbb{R}^{3\times2} pelo vetor w\in\mathbb{R}^2 gera um vetor em \mathbb{R}^3.
  • Cada componente do vetor resultante é o produto escalar (dot product) da respectiva linha de A com w.
  • Produto escalar: se uma linha é (a_1,a_2) e w=(w_1,w_2), então o produto escalar é
a_1 w_1 + a_2 w_2.
  • Aqui os pesos w_1=0{,}6 e w_2=0{,}4 representam a importância relativa dos dois critérios; portanto cada pontuação é uma média ponderada das notas dos critérios.

Passo 3

Calcular a primeira componente de Aw (pontuação do produto 1):
[Aw]_1 = 8\cdot 0{,}6 + 6\cdot 0{,}4.
Agora faça as contas parciais:
8\cdot 0{,}6 = 4{,}8,\qquad 6\cdot 0{,}4 = 2{,}4.
Somando:
[Aw]_1 = 4{,}8 + 2{,}4 = 7{,}2.

Passo 4

Calcular a segunda componente de Aw (pontuação do produto 2):
[Aw]_2 = 7\cdot 0{,}6 + 9\cdot 0{,}4.
Contas parciais:
7\cdot 0{,}6 = 4{,}2,\qquad 9\cdot 0{,}4 = 3{,}6.
Somando:
[Aw]_2 = 4{,}2 + 3{,}6 = 7{,}8.

Passo 5

Calcular a terceira componente de Aw (pontuação do produto 3):
[Aw]_3 = 5\cdot 0{,}6 + 8\cdot 0{,}4.
Contas parciais:
5\cdot 0{,}6 = 3{,}0,\qquad 8\cdot 0{,}4 = 3{,}2.
Somando:
[Aw]_3 = 3{,}0 + 3{,}2 = 6{,}2.

Passo 6

Juntando as três componentes, o vetor resultado é
Aw=\begin{pmatrix}7{,}2\\[4pt]7{,}8\\[4pt]6{,}2\end{pmatrix}.
Comparando as entradas, a maior pontuação é 7{,}8, que corresponde ao produto 2. Portanto o melhor produto é o produto da segunda linha da matriz A.]

Resposta

\begin{pmatrix}7{,}2\\[4pt]7{,}8\\[4pt]6{,}2\end{pmatrix}
Produto 2 ( 7{,}8)]

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