Exercício 22 Suponha f(x, y) contínua em \mathbb{R}^{2}. Invertendo a ordem de integração das integrais abaixo, escreva a soma abaixo como uma única integral iterada
\int_{-1}^{0}\left[\int_{1-\sqrt{1+y}}^{1+\sqrt{1+y}} f(x, y) d x\right] d y+\int_{0}^{3}\left[\int_{\frac{y^{2}}{3}}^{1+\sqrt{1+y}} f(x, y) d x\right] d y
Passo 1
O enunciado pede: inverter a ordem de integração das duas integrais dadas e escrever a soma como uma única integral iterada (isto é, uma única integral dupla em que a integração em x venha por fora). As integrais fornecidas e os seus limites são:
Primeiro integrando: y\in[-1,0] e, para cada y nesse intervalo, x varia entre x=1-\sqrt{1+y} e x=1+\sqrt{1+y}.
Segundo integrando: y\in[0,3] e, para cada y nesse intervalo, x varia entre x=\dfrac{y^{2}}{3} e x=1+\sqrt{1+y}.
A função f(x,y) é contínua (portanto não há problemas de integrabilidade), e a soma das duas integrais representa a integral de f sobre a região D\subset\mathbb{R}^2 formada pela união dessas duas faixas.
Passo 2
Vamos entender geometricamente as curvas que aparecem como limites em x; isso é essencial para trocar a ordem de integração.
As curvas dadas por x=1\pm\sqrt{1+y} podem ser reescritas isolando y. Tomando x=1+\sqrt{1+y} (a rama direita) e isolando:
A mesma expressão para y surge se usarmos x=1-\sqrt{1+y} (pois leva ao mesmo quadrado). Logo, a família x=1\pm\sqrt{1+y} corresponde à curva
y=(x-1)^2-1,
que é uma parábola com vértice em (1,-1), abrindo para cima.
A curva x=\dfrac{y^{2}}{3} pode ser invertida (lembrando que, nas integrais, y\ge0 nessa parte) como
y=\sqrt{3x}\quad(\text{com }y\ge0).
Essa é uma raiz quadrada crescente passando por (0,0).
Então as três curvas importantes são y=(x-1)^2-1 (parábola) e y=\sqrt{3x} (ramo positivo da raiz), além das retas horizontais y=-1,\;y=0,\;y=3 que aparecem nos limites das integrais originais.
Passo 3
Descrever as duas partes da região D dadas pelas integrais:
Região A (primeira integral): y\in[-1,0] e x entre 1-\sqrt{1+y} e 1+\sqrt{1+y}. Em termos de x e y isso é
A=\{(x,y)\mid -1\le y\le 0,\; (x-1)^2\le 1+y\}.
Rearranjando a desigualdade obtém-se y\ge (x-1)^2-1. Juntando com -1\le y\le 0 vemos que, para A, x só pode variar onde (x-1)^2-1\le 0, isto é (x-1)^2\le 1 → x\in[0,2]. Para cada x\in[0,2] temos
y\in\big[(x-1)^2-1,\;0\big].
Região B (segunda integral): y\in[0,3] e x entre x=\dfrac{y^2}{3} e x=1+\sqrt{1+y}. Em desigualdades:
Como x estará no intervalo que a região atingir (veremos adiante que x\le 3), e \sqrt{3x}\le 3 para x\le 3, podemos simplificar o limite superior para \sqrt{3x}. Portanto, para B temos, para valores de x apropriados,
y\in\big[\max\{0,(x-1)^2-1\},\;\sqrt{3x}\big].
Passo 4
Determinar o intervalo total de x que abrange D=A\cup B.
Para A, já vimos que x\in[0,2].
Para B, a esquerda x=\dfrac{y^2}{3} com y\in[0,3] gera x\in[0,3]; a direita x=1+\sqrt{1+y} com y\in[0,3] gera x\in[2,3]. Portanto B está contido em x\in[0,3].
Assim a união D tem projeção no eixo x igual a [0,3]. Logo, ao inverter a ordem a integral externa em x deve ir de 0 a 3.
Passo 5
Determinar o limite inferior em y e o limite superior em y em função de x, de modo a cobrir D totalmente, sem sobreposição indevida.
Observações importantes:
Para x\in[0,2] temos (x-1)^2-1\le 0, logo \max\{0,(x-1)^2-1\}=(x-1)^2-1 ou 0? Vamos ver: calcular alguns pontos:
Em x=0: (x-1)^2-1=0.
Em x=1: (x-1)^2-1=-1.
Em x=2: (x-1)^2-1=0.
Logo, em x\in[0,2] a função (x-1)^2-1 varia entre 0 (em x=0 e x=2) e -1 (em x=1). Portanto para esses x vale (x-1)^2-1\le 0, e a região D inclui pontos com y menores que zero (esses pertencem à região A) e também pontos com y\ge0 (esses pertencem à região B). A união para x\in[0,2] é, portanto, o intervalo contínuo
y\in\big[(x-1)^2-1,\;\sqrt{3x}\big],
porque o trecho de A dá desde (x-1)^2-1 até 0 e o trecho de B dá desde 0 até \sqrt{3x}.
Para x\in[2,3] temos (x-1)^2-1\ge 0. Neste caso a região A não existe (pois A estava restrita a x\le2), e B fornece
y\in\big[(x-1)^2-1,\;\sqrt{3x}\big],
pois agora \max\{0,(x-1)^2-1\}=(x-1)^2-1.
Conclusão: para todo x\in[0,3] os y cobertos pela união A\cup B vão de y=(x-1)^2-1 até y=\sqrt{3x}. (Em alguns subintervalos esse intervalo em y pode conter o ponto y=0 no interior; em outros, os limites coincidem, produzindo fatias degeneradas, mas isso está correto e é contínuo.)
Passo 6
Escrever a soma das integrais como uma única integral iterada com a ordem invertida (primeiro integrar em y, depois em x), usando os limites que encontramos: