Exercício 8 Calcule o determinante Jacobiano e, se existir, a transformação inversa. f(r, \theta, z)=(r \cos (\theta), r \operatorname{sen}(\theta), z)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
Calcular o determinante jacobiano da aplicação f dada por
Encontrar, se existir, a transformação inversa f^{-1}.
Informações fornecidas:
As componentes de f são x=r\cos(\theta), y=r\sin(\theta), z=z.
As variáveis de partida são (r,\theta,z) e a imagem vive em coordenadas (x,y,z).
Passo 2
O que é o jacobiano e como vamos calcular:
O jacobiano de uma transformação f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 é a matriz das derivadas parciais das componentes de f em relação às variáveis de entrada. Em notação,
onde cada entrada é \dfrac{\partial x_i}{\partial u_j}.
O determinante dessa matriz, \det J_f, mede localmente o fator de escala de volumes (por exemplo, dV_{xyz}=\det J_f\,d r\,d\theta\,dz quando positivo usa-se o valor absoluto).
Plano de ação: (i) calcular todas as derivadas parciais; (ii) montar a matriz jacobiana 3\times3; (iii) calcular seu determinante de forma direta (aqui haverá simplificação por presença de um 1 na terceira linha/coluna).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais das componentes:
Para x=r\cos(\theta):\frac{\partial x}{\partial r}=\cos(\theta),\qquad \frac{\partial x}{\partial \theta}=-r\sin(\theta),\qquad \frac{\partial x}{\partial z}=0.
Para y=r\sin(\theta):\frac{\partial y}{\partial r}=\sin(\theta),\qquad \frac{\partial y}{\partial \theta}=r\cos(\theta),\qquad \frac{\partial y}{\partial z}=0.
Para z=z:\frac{\partial z}{\partial r}=0,\qquad \frac{\partial z}{\partial \theta}=0,\qquad \frac{\partial z}{\partial z}=1.
Passo 4
Montar a matriz jacobiana com as entradas calculadas:
Para \theta, da razão \tan(\theta)=\dfrac{y}{x} obtemos \theta por uma função arco-tangente que leva em conta o quadrante. A forma robusta e prática é usar a função \operatorname{atan2}(y,x), que retorna o ângulo correto em (-\pi,\pi] ou outro ramo escolhido.
Domínio de existência e observações sobre a inversa:
A inversa acima está bem definida para todos os pontos com (x,y)\neq(0,0), porque em (0,0,z) o valor de \theta é indefinido (qualquer ângulo dá o mesmo x,y).
Além disso, há ambiguidade por periodicidade: \theta e \theta+2\pi k representam a mesma imagem. Para que f seja injetora e admita inversa global única é necessário restringir o domínio em (r,\theta,z), por exemplo tomar r\ge 0 e \theta em um intervalo fixo de comprimento 2\pi (por exemplo \theta\in(-\pi,\pi] ou \theta\in[0,2\pi)).
Em resumo: localmente (ou com restrições do domínio) existe inversa dada acima; globalmente sem restrição em \theta a inversa é multivalorada devido à periodicidade.
Resposta
\det J_f(r,\theta,z)=r. f^{-1}(x,y,z)=\bigl(\sqrt{x^2+y^2},\,\operatorname{atan2}(y,x),\,z\bigr) definida para (x,y)\neq(0,0) (escolher um ramo de comprimento 2\pi para \operatorname{atan2}).