Exercício 8 Calcule o determinante Jacobiano e, se existir, a transformação inversa.
f(r, \theta, z)=(r \cos (\theta), r \operatorname{sen}(\theta), z)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Calcular o determinante jacobiano da aplicação f dada por
f(r,\theta,z)=\bigl(r\cos(\theta),\,r\sin(\theta),\,z\bigr).
  • Encontrar, se existir, a transformação inversa f^{-1}.
Informações fornecidas:
  • As componentes de f são x=r\cos(\theta), y=r\sin(\theta), z=z.
  • As variáveis de partida são (r,\theta,z) e a imagem vive em coordenadas (x,y,z).

Passo 2

O que é o jacobiano e como vamos calcular:
  • O jacobiano de uma transformação f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 é a matriz das derivadas parciais das componentes de f em relação às variáveis de entrada. Em notação,
J_f(r,\theta,z)=\left(\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta,z)}\right)
onde cada entrada é \dfrac{\partial x_i}{\partial u_j}.
  • O determinante dessa matriz, \det J_f, mede localmente o fator de escala de volumes (por exemplo, dV_{xyz}=\det J_f\,d r\,d\theta\,dz quando positivo usa-se o valor absoluto).
  • Plano de ação: (i) calcular todas as derivadas parciais; (ii) montar a matriz jacobiana 3\times3; (iii) calcular seu determinante de forma direta (aqui haverá simplificação por presença de um 1 na terceira linha/coluna).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais das componentes:
  • Para x=r\cos(\theta): \frac{\partial x}{\partial r}=\cos(\theta),\qquad \frac{\partial x}{\partial \theta}=-r\sin(\theta),\qquad \frac{\partial x}{\partial z}=0.
  • Para y=r\sin(\theta): \frac{\partial y}{\partial r}=\sin(\theta),\qquad \frac{\partial y}{\partial \theta}=r\cos(\theta),\qquad \frac{\partial y}{\partial z}=0.
  • Para z=z: \frac{\partial z}{\partial r}=0,\qquad \frac{\partial z}{\partial \theta}=0,\qquad \frac{\partial z}{\partial z}=1.

Passo 4

Montar a matriz jacobiana com as entradas calculadas:
J_f(r,\theta,z)= \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -r\sin(\theta) & 0\\[4pt] \sin(\theta) & \;r\cos(\theta)\; & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Repare que a terceira coluna/linha tem zeros exceto o 1 em baixo à direita — isso facilita o cálculo do determinante.]

Passo 5

Calcular o determinante usando a propriedade de bloco triangular:
  • O determinante de uma matriz da forma
    \begin{pmatrix}A & 0\\\\ 0 & 1\end{pmatrix} é \det(A)\cdot 1.
  • Aqui, o bloco 2\times2 superior esquerdo é
A=\begin{pmatrix}\cos(\theta) & -r\sin(\theta)\\[4pt]\sin(\theta) & r\cos(\theta)\end{pmatrix}.
  • Então
\det J_f=\det(A)\cdot 1 =\cos(\theta)\cdot (r\cos(\theta)) - (-r\sin(\theta))\cdot\sin(\theta).
  • Simplificando:
\det J_f = r\cos^2(\theta)+r\sin^2(\theta)=r\bigl(\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)\bigr)=r.]

Passo 6

Interpretação do resultado do jacobiano:
  • Conclusão: \det J_f(r,\theta,z)=r.
  • Isso significa que um elemento de volume em coordenadas cilindricas se escreve dV_{xyz}=r\,dr\,d\theta\,dz (o famoso fator r).
  • Observações sobre sinal e domínio: se usamos r\ge 0 (convenção usual), \det J_f\ge 0; se permitíssemos r<0 haveria inversão de orientação quando r<0.

Passo 7

Encontrar a transformação inversa (quando existir):
  • Das definições x=r\cos(\theta) e y=r\sin(\theta) segue
r^2=x^2+y^2\quad\Rightarrow\quad r=\sqrt{x^2+y^2}.
  • Para \theta, da razão \tan(\theta)=\dfrac{y}{x} obtemos \theta por uma função arco-tangente que leva em conta o quadrante. A forma robusta e prática é usar a função \operatorname{atan2}(y,x), que retorna o ângulo correto em (-\pi,\pi] ou outro ramo escolhido.
  • Para z, obviamente z permanece igual.
  • Assim uma expressão para a inversa é
f^{-1}(x,y,z)=\bigl(\sqrt{x^2+y^2},\,\operatorname{atan2}(y,x),\,z\bigr).

Passo 8

Domínio de existência e observações sobre a inversa:
  • A inversa acima está bem definida para todos os pontos com (x,y)\neq(0,0), porque em (0,0,z) o valor de \theta é indefinido (qualquer ângulo dá o mesmo x,y).
  • Além disso, há ambiguidade por periodicidade: \theta e \theta+2\pi k representam a mesma imagem. Para que f seja injetora e admita inversa global única é necessário restringir o domínio em (r,\theta,z), por exemplo tomar r\ge 0 e \theta em um intervalo fixo de comprimento 2\pi (por exemplo \theta\in(-\pi,\pi] ou \theta\in[0,2\pi)).
  • Em resumo: localmente (ou com restrições do domínio) existe inversa dada acima; globalmente sem restrição em \theta a inversa é multivalorada devido à periodicidade.

Resposta

\det J_f(r,\theta,z)=r.
f^{-1}(x,y,z)=\bigl(\sqrt{x^2+y^2},\,\operatorname{atan2}(y,x),\,z\bigr) definida para (x,y)\neq(0,0) (escolher um ramo de comprimento 2\pi para \operatorname{atan2}).

Exercícios relacionados